MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem5 24322
Description: Lemma for aaliou3 24326. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6823 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → (1...𝑐) = (1...𝐴))
21sumeq1d 14651 . . 3 (𝑐 = 𝐴 → Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
3 aaliou3lem.e . . 3 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
4 sumex 14638 . . 3 Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6446 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) = Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏))
6 fzfid 12987 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (1...𝐴) ∈ Fin)
7 elfznn 12584 . . . . 5 (𝑏 ∈ (1...𝐴) → 𝑏 ∈ ℕ)
87adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → 𝑏 ∈ ℕ)
9 fveq2 6354 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (!‘𝑎) = (!‘𝑏))
109negeqd 10488 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑏))
1110oveq2d 6831 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑏)))
12 aaliou3lem.c . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
13 ovex 6843 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝑏)) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6446 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) = (2↑-(!‘𝑏)))
15 2rp 12051 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
16 nnnn0 11512 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
17 faccl 13285 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0 → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℕ)
1918nnzd 11694 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → (!‘𝑏) ∈ ℤ)
2019znegcld 11697 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ → -(!‘𝑏) ∈ ℤ)
21 rpexpcl 13094 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑏) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2215, 20, 21sylancr 698 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ+)
2322rpred 12086 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑏)) ∈ ℝ)
2414, 23eqeltrd 2840 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
258, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
266, 25fsumrecl 14685 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ)
275, 26eqeltrd 2840 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐻𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  1c1 10150  -cneg 10480  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  +crp 12046  ...cfz 12540  cexp 13075  !cfa 13275  Σcsu 14636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  24324  aaliou3lem9  24325
  Copyright terms: Public domain W3C validator