MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou 24313
Description: Liouville's theorem on diophantine approximation: Any algebraic number, being a root of a polynomial 𝐹 in integer coefficients, is not approximable beyond order 𝑁 = deg(𝐹) by rational numbers. In this form, it also applies to rational numbers themselves, which are not well approximable by other rational numbers. This is Metamath 100 proof #18. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aaliou (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aaliou
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 aalioulem2.b . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3 aalioulem2.c . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 aalioulem2.d . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 aalioulem3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
61, 2, 3, 4, 5aalioulem6 24312 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7 rphalfcl 12061 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
87adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
97ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ+)
10 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ+)
1110ad2antll 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
123nnzd 11688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1411, 13rpexpcld 13239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
159, 14rpdivcld 12092 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
1615rpred 12075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
17 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1817, 14rpdivcld 12092 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
1918rpred 12075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
204adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 znq 12000 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
22 qre 12001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
24 resubcl 10551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
2520, 23, 24syl2an 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
2625recnd 10274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
2726abscld 14383 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
2816, 19, 273jca 1122 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
299rpred 12075 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) ∈ ℝ)
30 rpre 12042 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
3130ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
32 rphalflt 12063 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ+ → (𝑎 / 2) < 𝑎)
3332ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) < 𝑎)
3429, 31, 14, 33ltdiv1dd 12132 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (𝑎 / (𝑞𝑁)))
3534anim1i 602 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
3635ex 397 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
37 ltletr 10335 . . . . . . 7 ((((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → ((((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
3828, 36, 37sylsyld 61 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
3938orim2d 951 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4039ralimdvva 3113 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
41 oveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) = ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)))
4241breq1d 4797 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4342orbi2d 901 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
44432ralbidv 3138 . . . . 5 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4544rspcev 3460 . . . 4 (((𝑎 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ ((𝑎 / 2) / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
468, 40, 45syl6an 663 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4746rexlimdva 3179 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
486, 47mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  cz 11584  cq 11996  +crp 12035  cexp 13067  abscabs 14182  Polycply 24160  degcdgr 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851  df-dvn 23852  df-cpn 23853  df-ply 24164  df-idp 24165  df-coe 24166  df-dgr 24167  df-quot 24266
This theorem is referenced by:  aaliou2  24315
  Copyright terms: Public domain W3C validator