MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9p1e10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9p1e10 11708
Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
9p1e10 (9 + 1) = 10

Proof of Theorem 9p1e10
StepHypRef Expression
1 df-dec 11706 . 2 10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2 9nn 11404 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
3 1nn 11243 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4 nnaddcl 11254 . . . . . 6 ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 710 . . . . 5 (9 + 1) ∈ ℕ
65nncni 11242 . . . 4 (9 + 1) ∈ ℂ
76mulid1i 10254 . . 3 ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
87oveq1i 6824 . 2 (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
96addid1i 10435 . 2 ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
101, 8, 93eqtrri 2787 1 (9 + 1) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cn 11232  9c9 11289  cdc 11705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-dec 11706
This theorem is referenced by:  dfdec10  11709  10nn  11726  le9lt10  11741  decsucc  11762  5p5e10  11808  6p4e10  11810  7p3e10  11815  8p2e10  11822  9p2e11  11831  10m1e9  11842  9lt10  11885  sq10e99m1  13263  sq10e99m1OLD  13266  3dvds  15274  3dvdsdec  15276  3dvds2dec  15278  1259lem2  16061  1259lem3  16062  1259lem4  16063  2503lem2  16067  4001lem1  16070  4001lem2  16071  4001lem4  16073  bposlem4  25232  bposlem5  25233  dp2lt10  29921  1mhdrd  29954  hgt750lem2  31060  rmydioph  38101  127prm  42043  bgoldbtbndlem1  42221
  Copyright terms: Public domain W3C validator