MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8th4div3 11464
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10206 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 8re 11317 . . . . 5 8 ∈ ℝ
32recni 10264 . . . 4 8 ∈ ℂ
4 4cn 11310 . . . 4 4 ∈ ℂ
5 3cn 11307 . . . 4 3 ∈ ℂ
6 8pos 11333 . . . . 5 0 < 8
72, 6gt0ne0ii 10776 . . . 4 8 ≠ 0
8 3ne0 11327 . . . 4 3 ≠ 0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 10997 . . 3 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((1 · 4) / (8 · 3))
101, 4mulcomi 10258 . . . 4 (1 · 4) = (4 · 1)
11 2cn 11303 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
124, 11, 5mul32i 10444 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = ((4 · 3) · 2)
13 4t2e8 11393 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 6824 . . . . . . 7 ((4 · 2) · 3) = (8 · 3)
1512, 14eqtr3i 2784 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (8 · 3)
164, 5, 11mulassi 10261 . . . . . 6 ((4 · 3) · 2) = (4 · (3 · 2))
1715, 16eqtr3i 2784 . . . . 5 (8 · 3) = (4 · (3 · 2))
18 3t2e6 11391 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
1918oveq2i 6825 . . . . 5 (4 · (3 · 2)) = (4 · 6)
2017, 19eqtri 2782 . . . 4 (8 · 3) = (4 · 6)
2110, 20oveq12i 6826 . . 3 ((1 · 4) / (8 · 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
229, 21eqtri 2782 . 2 ((1 / 8) · (4 / 3)) = ((4 · 1) / (4 · 6))
23 6re 11313 . . . 4 6 ∈ ℝ
2423recni 10264 . . 3 6 ∈ ℂ
25 6pos 11331 . . . 4 0 < 6
2623, 25gt0ne0ii 10776 . . 3 6 ≠ 0
27 4ne0 11329 . . 3 4 ≠ 0
28 divcan5 10939 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
291, 28mp3an1 1560 . . 3 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6))
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 711 . 2 ((4 · 1) / (4 · 6)) = (1 / 6)
3122, 30eqtri 2782 1 ((1 / 8) · (4 / 3)) = (1 / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   / cdiv 10896  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  6c6 11286  8c8 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator