MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  83prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 83prm 16037
Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
83prm 83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm
StepHypRef Expression
1 8nn0 11522 . . 3 8 ∈ ℕ0
2 3nn 11393 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11725 . 2 83 ∈ ℕ
4 4nn0 11518 . . . 4 4 ∈ ℕ0
51, 4deccl 11719 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11517 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11515 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11885 . . 3 3 < 10
9 8nn 11398 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 8lt10 11880 . . . 4 8 < 10
119, 4, 1, 10declti 11753 . . 3 8 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11739 . 2 83 < 841
13 1lt10 11887 . . 3 1 < 10
149, 6, 7, 13declti 11753 . 2 1 < 83
15 2cn 11297 . . . 4 2 ∈ ℂ
1615mulid2i 10249 . . 3 (1 · 2) = 2
17 df-3 11286 . . 3 3 = (2 + 1)
181, 7, 16, 17dec2dvds 15974 . 2 ¬ 2 ∥ 83
19 2nn0 11516 . . . 4 2 ∈ ℕ0
20 7nn0 11521 . . . 4 7 ∈ ℕ0
2119, 20deccl 11719 . . 3 27 ∈ ℕ0
22 2nn 11392 . . 3 2 ∈ ℕ
23 0nn0 11514 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2771 . . . 4 27 = 27
2519dec0h 11729 . . . 4 2 = 02
26 3t2e6 11386 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
2715addid2i 10430 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
2826, 27oveq12i 6808 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29 6p2e8 11376 . . . . 5 (6 + 2) = 8
3028, 29eqtri 2793 . . . 4 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
3120nn0cni 11511 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
32 3cn 11301 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
33 7t3e21 11855 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
3431, 32, 33mulcomli 10253 . . . . 5 (3 · 7) = 21
35 1p2e3 11359 . . . . 5 (1 + 2) = 3
3619, 7, 19, 34, 35decaddi 11785 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
3719, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36decma2c 11774 . . 3 ((3 · 27) + 2) = 83
38 2lt3 11402 . . 3 2 < 3
392, 21, 22, 37, 38ndvdsi 15344 . 2 ¬ 3 ∥ 83
40 3lt5 11408 . . 3 3 < 5
411, 2, 40dec5dvds 15975 . 2 ¬ 5 ∥ 83
42 7nn 11397 . . 3 7 ∈ ℕ
437, 7deccl 11719 . . 3 11 ∈ ℕ0
44 6nn 11396 . . 3 6 ∈ ℕ
4544nnnn0i 11507 . . . 4 6 ∈ ℕ0
46 eqid 2771 . . . 4 11 = 11
4745dec0h 11729 . . . 4 6 = 06
4831mulid1i 10248 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 ax-1cn 10200 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5049addid2i 10430 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5148, 50oveq12i 6808 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52 7p1e8 11364 . . . . 5 (7 + 1) = 8
5351, 52eqtri 2793 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
5448oveq1i 6806 . . . . 5 ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55 7p6e13 11814 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5654, 55eqtri 2793 . . . 4 ((7 · 1) + 6) = 13
577, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56decma2c 11774 . . 3 ((7 · 11) + 6) = 83
58 6lt7 11416 . . 3 6 < 7
5942, 43, 44, 57, 58ndvdsi 15344 . 2 ¬ 7 ∥ 83
60 1nn 11237 . . . 4 1 ∈ ℕ
617, 60decnncl 11725 . . 3 11 ∈ ℕ
6261nncni 11236 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
6362, 31mulcomi 10252 . . . . 5 (11 · 7) = (7 · 11)
6463oveq1i 6806 . . . 4 ((11 · 7) + 6) = ((7 · 11) + 6)
6564, 57eqtri 2793 . . 3 ((11 · 7) + 6) = 83
66 6lt10 11882 . . . 4 6 < 10
6760, 7, 45, 66declti 11753 . . 3 6 < 11
6861, 20, 44, 65, 67ndvdsi 15344 . 2 ¬ 11 ∥ 83
697, 2decnncl 11725 . . 3 13 ∈ ℕ
70 5nn 11395 . . 3 5 ∈ ℕ
7170nnnn0i 11507 . . . 4 5 ∈ ℕ0
72 eqid 2771 . . . 4 13 = 13
7371dec0h 11729 . . . 4 5 = 05
74 6cn 11308 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7574mulid2i 10249 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
7675, 27oveq12i 6808 . . . . 5 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
7776, 29eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78 6t3e18 11848 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
7974, 32, 78mulcomli 10253 . . . . 5 (3 · 6) = 18
80 1p1e2 11341 . . . . 5 (1 + 1) = 2
81 8p5e13 11821 . . . . 5 (8 + 5) = 13
827, 1, 71, 79, 80, 6, 81decaddci 11786 . . . 4 ((3 · 6) + 5) = 23
837, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82decmac 11772 . . 3 ((13 · 6) + 5) = 83
84 5lt10 11883 . . . 4 5 < 10
8560, 6, 71, 84declti 11753 . . 3 5 < 13
8669, 45, 70, 83, 85ndvdsi 15344 . 2 ¬ 13 ∥ 83
877, 42decnncl 11725 . . 3 17 ∈ ℕ
887, 70decnncl 11725 . . 3 15 ∈ ℕ
89 eqid 2771 . . . 4 17 = 17
90 eqid 2771 . . . 4 15 = 15
914nn0cni 11511 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9291mulid2i 10249 . . . . . 6 (1 · 4) = 4
93 3p1e4 11360 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
9432, 49, 93addcomli 10434 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
9592, 94oveq12i 6808 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96 4p4e8 11371 . . . . 5 (4 + 4) = 8
9795, 96eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98 7t4e28 11856 . . . . 5 (7 · 4) = 28
99 2p1e3 11358 . . . . 5 (2 + 1) = 3
10019, 1, 71, 98, 99, 6, 81decaddci 11786 . . . 4 ((7 · 4) + 5) = 33
1017, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100decmac 11772 . . 3 ((17 · 4) + 15) = 83
102 5lt7 11417 . . . 4 5 < 7
1037, 71, 42, 102declt 11737 . . 3 15 < 17
10487, 4, 88, 101, 103ndvdsi 15344 . 2 ¬ 17 ∥ 83
105 9nn 11399 . . . 4 9 ∈ ℕ
1067, 105decnncl 11725 . . 3 19 ∈ ℕ
107 9nn0 11523 . . . 4 9 ∈ ℕ0
108 eqid 2771 . . . 4 19 = 19
10920dec0h 11729 . . . 4 7 = 07
11091addid2i 10430 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
11192, 110oveq12i 6808 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112111, 96eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113 9t4e36 11871 . . . . 5 (9 · 4) = 36
11431, 74, 55addcomli 10434 . . . . 5 (6 + 7) = 13
1156, 45, 20, 113, 93, 6, 114decaddci 11786 . . . 4 ((9 · 4) + 7) = 43
1167, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115decmac 11772 . . 3 ((19 · 4) + 7) = 83
117 7lt10 11881 . . . 4 7 < 10
11860, 107, 20, 117declti 11753 . . 3 7 < 19
119106, 4, 42, 116, 118ndvdsi 15344 . 2 ¬ 19 ∥ 83
12019, 2decnncl 11725 . . 3 23 ∈ ℕ
121 4nn 11394 . . . 4 4 ∈ ℕ
1227, 121decnncl 11725 . . 3 14 ∈ ℕ
123 eqid 2771 . . . 4 23 = 23
124 eqid 2771 . . . 4 14 = 14
12532, 15, 26mulcomli 10253 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
126125, 80oveq12i 6808 . . . . 5 ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127126, 29eqtri 2793 . . . 4 ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128 3t3e9 11387 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
129128oveq1i 6806 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130 9p4e13 11828 . . . . 5 (9 + 4) = 13
131129, 130eqtri 2793 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
13219, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131decmac 11772 . . 3 ((23 · 3) + 14) = 83
133 4lt10 11884 . . . 4 4 < 10
134 1lt2 11401 . . . 4 1 < 2
1357, 19, 4, 6, 133, 134decltc 11739 . . 3 14 < 23
136120, 6, 122, 132, 135ndvdsi 15344 . 2 ¬ 23 ∥ 83
1373, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136prmlem2 16034 1 83 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  2c2 11276  3c3 11277  4c4 11278  5c5 11279  6c6 11280  7c7 11281  8c8 11282  9c9 11283  cdc 11700  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  bpos1  25229
  Copyright terms: Public domain W3C validator