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Theorem 7rexfrabdioph 37883
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
rexfrabdioph.2 𝐿 = (𝑀 + 1)
rexfrabdioph.3 𝐾 = (𝐿 + 1)
rexfrabdioph.4 𝐽 = (𝐾 + 1)
rexfrabdioph.5 𝐼 = (𝐽 + 1)
rexfrabdioph.6 𝐻 = (𝐼 + 1)
rexfrabdioph.7 𝐺 = (𝐻 + 1)
Assertion
Ref Expression
7rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐺,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐻,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐼,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐽,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐾,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝐿,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝑀,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝑝,𝑞   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbc2rex 37870 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑)
2 sbc4rex 37872 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
322rexbii 3189 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
41, 3bitri 264 . . . . . 6 ([(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
54sbcbii 3641 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
6 sbc2rex 37870 . . . . 5 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
7 sbc4rex 37872 . . . . . 6 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
872rexbii 3189 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
95, 6, 83bitri 286 . . . 4 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
109rabbii 3334 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑}
11 rexfrabdioph.1 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑁 + 1)
12 nn0p1nn 11533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl5eqel 2853 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 11552 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
1514adantr 466 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 sbcrot3 37874 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑)
1716sbcbii 3641 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑)
18 sbcrot3 37874 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑)
19 sbcrot5 37875 . . . . . . . . . . . . . 14 ([(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
2019sbcbii 3641 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
21 sbcrot5 37875 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑[(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
2220, 21bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
2322sbcbii 3641 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
2423sbcbii 3641 . . . . . . . . . 10 ([(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
2517, 18, 243bitri 286 . . . . . . . . 9 ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
2625sbcbii 3641 . . . . . . . 8 ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑)
27 reseq1 5528 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)))
2827sbccomieg 37876 . . . . . . . . 9 ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑)
29 fzssp1 12590 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ (1...(𝑁 + 1))
3011oveq2i 6803 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
3129, 30sseqtr4i 3785 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (1...𝑀)
32 resabs1 5568 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑁) ⊆ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)))
33 dfsbcq 3587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑)
35 vex 3352 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ V
3635resex 5584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V
37 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀))
3837sbcco3g 4141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
3936, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑)
40 elfz1end 12577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
4113, 40sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (1...𝑀))
42 fvres 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡𝑀))
43 dfsbcq 3587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
4539, 44syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
4645sbcbidv 3640 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
4734, 46syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
4828, 47syl5bb 272 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
4926, 48syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑))
5049rabbidv 3338 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑})
5150eleq1d 2834 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)))
5251biimpar 463 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺))
53 rexfrabdioph.2 . . . . 5 𝐿 = (𝑀 + 1)
54 rexfrabdioph.3 . . . . 5 𝐾 = (𝐿 + 1)
55 rexfrabdioph.4 . . . . 5 𝐽 = (𝐾 + 1)
56 rexfrabdioph.5 . . . . 5 𝐼 = (𝐽 + 1)
57 rexfrabdioph.6 . . . . 5 𝐻 = (𝐼 + 1)
58 rexfrabdioph.7 . . . . 5 𝐺 = (𝐻 + 1)
5953, 54, 55, 56, 57, 586rexfrabdioph 37882 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
6015, 52, 59syl2anc 565 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
6110, 60syl5eqel 2853 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀))
6211rexfrabdioph 37878 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎𝑀) / 𝑣]𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
6361, 62syldan 571 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣][(𝑡𝐿) / 𝑤][(𝑡𝐾) / 𝑥][(𝑡𝐽) / 𝑦][(𝑡𝐼) / 𝑧][(𝑡𝐻) / 𝑝][(𝑡𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  [wsbc 3585  wss 3721  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  1c1 10138   + caddc 10140  cn 11221  0cn0 11493  ...cfz 12532  Diophcdioph 37837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321  df-mzpcl 37805  df-mzp 37806  df-dioph 37838
This theorem is referenced by:  rmydioph  38100
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