Theorem 6p5lem 11633

Description: Lemma for 6p5e11 11638 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6p5lem.2	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6p5lem.3	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
6p5lem.4	⊢ 𝐵 = (𝐷 + 1)
6p5lem.5	⊢ 𝐶 = (𝐸 + 1)
6p5lem.6	⊢ (𝐴 + 𝐷) = ;1𝐸

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	⊢ (𝐴 + 𝐵) = ;1𝐶

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐷 + 1)
2	1	oveq2i 6701	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
3		6p5lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 11342	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		6p5lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 11342	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		ax-1cn 10032	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	addassi 10086	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) + 1) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
9		1nn0 11346	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		6p5lem.3	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
11		6p5lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐸 + 1)
12	11	eqcomi 2660	. . 3 ⊢ (𝐸 + 1) = 𝐶
13		6p5lem.6	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐷) = ;1𝐸
14	9, 10, 12, 13	decsuc 11573	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) + 1) = ;1𝐶
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2679	1 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = ;1𝐶

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  ℕ₀cn0 11330  ;cdc 11531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-dec 11532

This theorem is referenced by:  6p5e11  11638  6p5e11OLD  11639  6p6e12  11640  7p4e11  11643  7p4e11OLD  11644  7p5e12  11645  7p6e13  11646  7p7e14  11647  8p3e11  11650  8p3e11OLD  11651  8p4e12  11652  8p5e13  11653  8p6e14  11654  8p7e15  11655  8p8e16  11656  9p2e11  11657  9p2e11OLD  11658  9p3e12  11659  9p4e13  11660  9p5e14  11661  9p6e15  11662  9p7e16  11663  9p8e17  11664  9p9e18  11665