MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6gcd4e2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6gcd4e2 15462
Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6gcd4e2 (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2
StepHypRef Expression
1 6nn 11390 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11602 . . 3 6 ∈ ℤ
3 4z 11612 . . 3 4 ∈ ℤ
4 gcdcom 15442 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
52, 3, 4mp2an 664 . 2 (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6 4cn 11299 . . . 4 4 ∈ ℂ
7 2cn 11292 . . . 4 2 ∈ ℂ
8 4p2e6 11363 . . . 4 (4 + 2) = 6
96, 7, 8addcomli 10429 . . 3 (2 + 4) = 6
109oveq2i 6803 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11 2z 11610 . . . . 5 2 ∈ ℤ
12 gcdadd 15454 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
1311, 11, 12mp2an 664 . . . 4 (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14 2p2e4 11345 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
1514oveq2i 6803 . . . . 5 (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16 gcdcom 15442 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
1711, 3, 16mp2an 664 . . . . 5 (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
1815, 17eqtri 2792 . . . 4 (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
1913, 18eqtri 2792 . . 3 (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20 gcdid 15455 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
2111, 20ax-mp 5 . . . 4 (2 gcd 2) = (abs‘2)
22 2re 11291 . . . . 5 2 ∈ ℝ
23 0le2 11312 . . . . 5 0 ≤ 2
24 absid 14243 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
2522, 23, 24mp2an 664 . . . 4 (abs‘2) = 2
2621, 25eqtri 2792 . . 3 (2 gcd 2) = 2
27 gcdadd 15454 . . . 4 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
283, 11, 27mp2an 664 . . 3 (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
2919, 26, 283eqtr3ri 2801 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = 2
305, 10, 293eqtr2i 2798 1 (6 gcd 4) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140  cle 10276  2c2 11271  4c4 11273  6c6 11275  cz 11578  abscabs 14181   gcd cgcd 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424
This theorem is referenced by:  6lcm4e12  15536
  Copyright terms: Public domain W3C validator