MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  5prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5prm 16038
Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
5prm 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm
StepHypRef Expression
1 5nn 11401 . 2 5 ∈ ℕ
2 1lt5 11416 . 2 1 < 5
3 2nn 11398 . . 3 2 ∈ ℕ
4 2nn0 11522 . . 3 2 ∈ ℕ0
5 1nn 11244 . . 3 1 ∈ ℕ
6 2t2e4 11390 . . . . 5 (2 · 2) = 4
76oveq1i 6825 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8 df-5 11295 . . . 4 5 = (4 + 1)
97, 8eqtr4i 2786 . . 3 ((2 · 2) + 1) = 5
10 1lt2 11407 . . 3 1 < 2
113, 4, 5, 9, 10ndvdsi 15359 . 2 ¬ 2 ∥ 5
12 3nn 11399 . . 3 3 ∈ ℕ
13 1nn0 11521 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 3t1e3 11391 . . . . 5 (3 · 1) = 3
1514oveq1i 6825 . . . 4 ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16 3p2e5 11373 . . . 4 (3 + 2) = 5
1715, 16eqtri 2783 . . 3 ((3 · 1) + 2) = 5
18 2lt3 11408 . . 3 2 < 3
1912, 13, 3, 17, 18ndvdsi 15359 . 2 ¬ 3 ∥ 5
20 5nn0 11525 . . 3 5 ∈ ℕ0
21 5lt10 11890 . . 3 5 < 10
223, 20, 20, 21declti 11759 . 2 5 < 25
231, 2, 11, 19, 22prmlem1 16037 1 5 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2140  (class class class)co 6815  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  2c2 11283  3c3 11284  4c4 11285  5c5 11286  cprime 15608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-prm 15609
This theorem is referenced by:  prmo5  16059  4001prm  16075  lt6abl  18517  bpos1  25229  fmtno1prm  42000  fmtnofac1  42011  8gbe  42190  11gbo  42192  nnsum3primesle9  42211
  Copyright terms: Public domain W3C validator