HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem7 28849
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem7 (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))

Proof of Theorem 5oalem7
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 2329 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
2 exrot4 2195 . . . . . 6 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
3 ee4anv 2329 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ (∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
432exbii 1924 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
52, 4bitri 264 . . . . 5 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
652exbii 1924 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
7 elin 3939 . . . . 5 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∧ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
8 5oalem5.1 . . . . . . . . . 10 𝐴S
9 5oalem5.2 . . . . . . . . . 10 𝐵S
108, 9shseli 28505 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 = (𝑥 + 𝑦))
11 r2ex 3199 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)))
1210, 11bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)))
13 5oalem5.3 . . . . . . . . . 10 𝐶S
14 5oalem5.4 . . . . . . . . . 10 𝐷S
1513, 14shseli 28505 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐶 + 𝐷) ↔ ∃𝑧𝐶𝑤𝐷 = (𝑧 + 𝑤))
16 r2ex 3199 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝐶𝑤𝐷 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤)))
1715, 16bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐶 + 𝐷) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤)))
1812, 17anbi12i 735 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∈ (𝐶 + 𝐷)) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
19 elin 3939 . . . . . . 7 ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ↔ ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∈ (𝐶 + 𝐷)))
20 ee4anv 2329 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
2118, 19, 203bitr4ri 293 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)))
22 5oalem5.5 . . . . . . . . . 10 𝐹S
23 5oalem5.6 . . . . . . . . . 10 𝐺S
2422, 23shseli 28505 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ↔ ∃𝑓𝐹𝑔𝐺 = (𝑓 + 𝑔))
25 r2ex 3199 . . . . . . . . 9 (∃𝑓𝐹𝑔𝐺 = (𝑓 + 𝑔) ↔ ∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)))
2624, 25bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ↔ ∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)))
27 5oalem5.7 . . . . . . . . . 10 𝑅S
28 5oalem5.8 . . . . . . . . . 10 𝑆S
2927, 28shseli 28505 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝑅 + 𝑆) ↔ ∃𝑣𝑅𝑢𝑆 = (𝑣 + 𝑢))
30 r2ex 3199 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝑅𝑢𝑆 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))
3129, 30bitri 264 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝑅 + 𝑆) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))
3226, 31anbi12i 735 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐹 + 𝐺) ∧ ∈ (𝑅 + 𝑆)) ↔ (∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
33 elin 3939 . . . . . . 7 ( ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ↔ ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ∧ ∈ (𝑅 + 𝑆)))
34 ee4anv 2329 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ (∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
3532, 33, 343bitr4ri 293 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
3621, 35anbi12i 735 . . . . 5 ((∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∧ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
377, 36bitr4i 267 . . . 4 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
381, 6, 373bitr4ri 293 . . 3 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
398, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 285oalem6 28848 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4039exlimivv 2009 . . . . . 6 (∃𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4140exlimivv 2009 . . . . 5 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4241exlimivv 2009 . . . 4 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4342exlimivv 2009 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4438, 43sylbi 207 . 2 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4544ssriv 3748 1 (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wrex 3051  cin 3714  wss 3715  (class class class)co 6814   + cva 28107   S csh 28115   + cph 28118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvmulass 28194  ax-hvdistr1 28195  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-grpo 27677  df-ablo 27729  df-hvsub 28158  df-hlim 28159  df-sh 28394  df-ch 28408  df-shs 28497
This theorem is referenced by:  5oai  28850
  Copyright terms: Public domain W3C validator