HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem5 28857
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem5 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . 4 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
21anim2i 603 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
3 simpl 468 . . 3 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)))
4 5oalem5.1 . . . 4 𝐴S
5 5oalem5.2 . . . 4 𝐵S
6 5oalem5.3 . . . 4 𝐶S
7 5oalem5.4 . . . 4 𝐷S
8 5oalem5.7 . . . 4 𝑅S
9 5oalem5.8 . . . 4 𝑆S
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 28856 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
112, 3, 10syl2an 583 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ (((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))))
124sheli 28411 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
1312adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
146sheli 28411 . . . . . . . 8 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
1514adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝑧 ∈ ℋ)
1613, 15anim12i 600 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8 𝐹S
1817sheli 28411 . . . . . . 7 (𝑓𝐹𝑓 ∈ ℋ)
1918adantr 466 . . . . . 6 ((𝑓𝐹𝑔𝐺) → 𝑓 ∈ ℋ)
20 hvsubsub4 28257 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
2120anandirs 658 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)))
22 hvsubid 28223 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ℋ → (𝑓 𝑓) = 0)
2322oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = ((𝑥 𝑧) − 0))
24 hvsubcl 28214 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
25 hvsub0 28273 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − 0) = (𝑥 𝑧))
2723, 26sylan9eqr 2827 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) − (𝑓 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2821, 27eqtrd 2805 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
2916, 19, 28syl2an 583 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3029adantrr 696 . . . 4 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
3130adantr 466 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) = (𝑥 𝑧))
32 simpl 468 . . . . . . . 8 (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) → (𝑓𝐹𝑔𝐺))
3332anim2i 603 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)))
34 anandir 656 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
3533, 34sylib 208 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))))
36 simprr 756 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → (𝑣𝑅𝑢𝑆))
3735, 36jca 501 . . . . 5 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) → ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)))
38 simpl 468 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢))
3938anim1i 602 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
40 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢))
4140anim1i 602 . . . . . 6 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))
4239, 41jca 501 . . . . 5 ((((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) → (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))))
43 anandir 656 . . . . . 6 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ↔ ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))))
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9 𝐺S
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 28856 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 28856 . . . . . . . 8 (((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))
4745, 46anim12i 600 . . . . . . 7 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) ∧ ((((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4847an4s 639 . . . . . 6 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
4943, 48sylanb 570 . . . . 5 ((((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ (𝑓𝐹𝑔𝐺))) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆)) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢)))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
5037, 42, 49syl2an 583 . . . 4 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
514, 17shscli 28516 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐹) ∈ S
525, 44shscli 28516 . . . . . . 7 (𝐵 + 𝐺) ∈ S
5351, 52shincli 28561 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∈ S
544, 8shscli 28516 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝑅) ∈ S
555, 9shscli 28516 . . . . . . . 8 (𝐵 + 𝑆) ∈ S
5654, 55shincli 28561 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) ∈ S
5717, 8shscli 28516 . . . . . . . 8 (𝐹 + 𝑅) ∈ S
5844, 9shscli 28516 . . . . . . . 8 (𝐺 + 𝑆) ∈ S
5957, 58shincli 28561 . . . . . . 7 ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)) ∈ S
6056, 59shscli 28516 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6153, 60shincli 28561 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
626, 17shscli 28516 . . . . . . 7 (𝐶 + 𝐹) ∈ S
637, 44shscli 28516 . . . . . . 7 (𝐷 + 𝐺) ∈ S
6462, 63shincli 28561 . . . . . 6 ((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∈ S
656, 8shscli 28516 . . . . . . . 8 (𝐶 + 𝑅) ∈ S
667, 9shscli 28516 . . . . . . . 8 (𝐷 + 𝑆) ∈ S
6765, 66shincli 28561 . . . . . . 7 ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) ∈ S
6867, 59shscli 28516 . . . . . 6 (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))) ∈ S
6964, 68shincli 28561 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∈ S
7061, 69shsvsi 28566 . . . 4 (((𝑥 𝑓) ∈ (((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) ∧ (𝑧 𝑓) ∈ (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7150, 70syl 17 . . 3 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑥 𝑓) − (𝑧 𝑓)) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7231, 71eqeltrrd 2851 . 2 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))
7311, 72elind 3949 1 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ ((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ (𝑣𝑅𝑢𝑆))) ∧ (((𝑥 + 𝑦) = (𝑣 + 𝑢) ∧ (𝑧 + 𝑤) = (𝑣 + 𝑢)) ∧ (𝑓 + 𝑔) = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 𝑧) ∈ ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  (class class class)co 6793  chil 28116   + cva 28117  0c0v 28121   cmv 28122   S csh 28125   + cph 28128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-grpo 27687  df-ablo 27739  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-ch 28418  df-shs 28507
This theorem is referenced by:  5oalem6  28858
  Copyright terms: Public domain W3C validator