Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem8 15851
 Description: Lemma for 4sq 15870. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem8 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))

Proof of Theorem 4sqlem8
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 15848 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simprd 482 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
62nnzd 11673 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
72nnne0d 11257 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
84simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
91, 8zsubcld 11679 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
10 dvdsval2 15185 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
116, 7, 9, 10syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
125, 11mpbird 247 . 2 (𝜑𝑀 ∥ (𝐴𝐵))
131, 8zaddcld 11678 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14 dvdsmul2 15206 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
1513, 9, 14syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
161zcnd 11675 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
178zcnd 11675 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
18 subsq 13166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
1916, 17, 18syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
2015, 19breqtrrd 4832 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
21 zsqcl 13128 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
221, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
23 zsqcl 13128 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
248, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
2522, 24zsubcld 11679 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
26 dvdstr 15220 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
276, 9, 25, 26syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))) → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2))))
2812, 20, 27mp2and 717 1 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128   + caddc 10131   · cmul 10133   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  ℤcz 11569   mod cmo 12862  ↑cexp 13054   ∥ cdvds 15182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-dvds 15183 This theorem is referenced by:  4sqlem14  15864  2sqlem8  25350
 Copyright terms: Public domain W3C validator