Theorem 4sqlem7 15821

Description: Lemma for 4sq 15841. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 15819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simpld 477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zred 11645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 12034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
8	7	rphalfcld 12048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 12036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3	4sqlem6 15820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))
11	10	simprd 482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
12	6, 9, 11	ltled 10348	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
13	10	simpld 477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
14	9, 6, 13	lenegcon1d 10772	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
15	8	rpge0d 12040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16		lenegsq 14230	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
18	12, 14, 17	mpbi2and 994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19		2cnd 11256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 13170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
21	20	oveq2d 6817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
22	2	nncnd 11199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
23		2ne0 11276	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
25	22, 19, 24	sqdivd 13186	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
26	22	sqcld 13171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
27	26, 19, 19, 24, 24	divdiv1d 10995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
29	18, 28	breqtrd 4818	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237   ≤ cle 10238   − cmin 10429  -cneg 10430   / cdiv 10847  ℕcn 11183  2c2 11233  ℤcz 11540   mod cmo 12833  ↑cexp 13025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146

This theorem is referenced by:  4sqlem15  15836  4sqlem16  15837  2sqlem8  25321