MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem5 15869
Description: Lemma for 4sq 15891. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 11696 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 4sqlem5.4 . . . . 5 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41zred 11695 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
65nnred 11248 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76rehalfcld 11492 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 10282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
95nnrpd 12084 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
108, 9modcld 12889 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
1110recnd 10281 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
127recnd 10281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1311, 12subcld 10605 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
143, 13syl5eqel 2844 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152, 14nncand 10610 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
162, 14subcld 10605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
176recnd 10281 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
185nnne0d 11278 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1916, 17, 18divcan1d 11015 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴𝐵))
203oveq2i 6826 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
212, 11, 12subsub3d 10635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2220, 21syl5eq 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
2322oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24 moddifz 12897 . . . . . . . 8 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
258, 9, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
2623, 25eqeltrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
275nnzd 11694 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2826, 27zmulcld 11701 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
2919, 28eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
301, 29zsubcld 11700 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) ∈ ℤ)
3115, 30eqeltrrd 2841 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3231, 26jca 555 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  cz 11590  +crp 12046   mod cmo 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fl 12808  df-mod 12884
This theorem is referenced by:  4sqlem7  15871  4sqlem8  15872  4sqlem9  15873  4sqlem10  15874  4sqlem14  15885  4sqlem15  15886  4sqlem16  15887  4sqlem17  15888  2sqlem8a  25371  2sqlem8  25372
  Copyright terms: Public domain W3C validator