Theorem 4sqlem5 15869

Description: Lemma for 4sq 15891. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1	zred 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnred 11248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 10282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
9	5	nnrpd 12084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
10	8, 9	modcld 12889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
12	7	recnd 10281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
13	11, 12	subcld 10605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
14	3, 13	syl5eqel 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2, 14	nncand 10610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
16	2, 14	subcld 10605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	6	recnd 10281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	5	nnne0d 11278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcan1d 11015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
20	3	oveq2i 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
21	2, 11, 12	subsub3d 10635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
22	20, 21	syl5eq 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
23	22	oveq1d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
24		moddifz 12897	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
25	8, 9, 24	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
26	23, 25	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
27	5	nnzd 11694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28	26, 27	zmulcld 11701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
29	19, 28	eqeltrrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
30	1, 29	zsubcld 11700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
31	15, 30	eqeltrrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31, 26	jca 555	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  ℝcr 10148   + caddc 10152   · cmul 10154   − cmin 10479   / cdiv 10897  ℕcn 11233  2c2 11283  ℤcz 11590  ℝ⁺crp 12046   mod cmo 12883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fl 12808  df-mod 12884

This theorem is referenced by:  4sqlem7  15871  4sqlem8  15872  4sqlem9  15873  4sqlem10  15874  4sqlem14  15885  4sqlem15  15886  4sqlem16  15887  4sqlem17  15888  2sqlem8a  25371  2sqlem8  25372