MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem16 15871
Description: Lemma for 4sq 15875. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem16 (𝜑 → (𝑅𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem16
StepHypRef Expression
1 4sq.r . . 3 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4 eluz2nn 11933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
72, 5, 64sqlem5 15853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
87simpld 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
9 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
1110zred 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
12 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
13 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1412, 5, 134sqlem5 15853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
1514simpld 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
16 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
1817zred 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
20 4sq.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
21 4sq.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2220, 5, 214sqlem5 15853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
2322simpld 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
24 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
2625zred 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
27 4sq.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
28 4sq.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2927, 5, 284sqlem5 15853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
3029simpld 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
31 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
3332zred 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
3426, 33readdcld 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
355nnred 11241 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3635resqcld 13242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
3736rehalfcld 11486 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
3837rehalfcld 11486 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
392, 5, 64sqlem7 15855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4012, 5, 134sqlem7 15855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4111, 18, 38, 38, 39, 40le2addd 10852 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
4237recnd 10274 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
43422halvesd 11485 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
4441, 43breqtrd 4813 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
4520, 5, 214sqlem7 15855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4627, 5, 284sqlem7 15855 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4726, 33, 38, 38, 45, 46le2addd 10852 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
4847, 43breqtrd 4813 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
4919, 34, 37, 37, 44, 48le2addd 10852 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)))
5036recnd 10274 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
51502halvesd 11485 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
5249, 51breqtrd 4813 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀↑2))
5335recnd 10274 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5453sqvald 13212 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
5552, 54breqtrd 4813 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))
5619, 34readdcld 10275 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
575nngt0d 11270 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑀)
58 ledivmul 11105 . . . . 5 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
5956, 35, 35, 57, 58syl112anc 1480 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
6055, 59mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀)
611, 60syl5eqbr 4822 . 2 (𝜑𝑅𝑀)
62 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 0) → 𝑅 = 0)
631, 62syl5eqr 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 0) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0)
6456recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
655nnne0d 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6664, 53, 65diveq0ad 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
67 zsqcl2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
688, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
69 zsqcl2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7168, 70nn0addcld 11562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
7271nn0ge0d 11561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
73 zsqcl2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7423, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
75 zsqcl2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7630, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7774, 76nn0addcld 11562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 11561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
79 add20 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8019, 72, 34, 78, 79syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8166, 80bitrd 268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8281biimpa 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
8363, 82syldan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
8483simpld 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0)
8568nn0ge0d 11561 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
8670nn0ge0d 11561 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹↑2))
87 add20 10746 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2)) ∧ ((𝐹↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹↑2))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
8811, 85, 18, 86, 87syl22anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
8988biimpa 462 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
9084, 89syldan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
9190simpld 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐸↑2) = 0)
922, 5, 6, 914sqlem9 15857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
9390simprd 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐹↑2) = 0)
9412, 5, 13, 934sqlem9 15857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
955nnsqcld 13236 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
9695nnzd 11688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
97 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
982, 97syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
99 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
10012, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
101 dvds2add 15224 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
10296, 98, 100, 101syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
103102adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
10492, 94, 103mp2and 679 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
10583simprd 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)
10674nn0ge0d 11561 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺↑2))
10776nn0ge0d 11561 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐻↑2))
108 add20 10746 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺↑2)) ∧ ((𝐻↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐻↑2))) → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
10926, 106, 33, 107, 108syl22anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
110109biimpa 462 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
111105, 110syldan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
112111simpld 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐺↑2) = 0)
11320, 5, 21, 1124sqlem9 15857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2))
114111simprd 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐻↑2) = 0)
11527, 5, 28, 1144sqlem9 15857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2))
116 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
11720, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
118 zsqcl 13141 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
11927, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
120 dvds2add 15224 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
12196, 117, 119, 120syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
122121adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
123113, 115, 122mp2and 679 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
12498, 100zaddcld 11693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
125117, 119zaddcld 11693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
126 dvds2add 15224 . . . . . . . 8 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
12796, 124, 125, 126syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
128127adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
129104, 123, 128mp2and 679 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
130 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
131 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
132 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
133 4sq.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
134 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
135 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
136 4sq.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
137 4sq.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
138130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 1374sqlem15 15870 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
139138simpld 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
140139simpld 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0)
1412, 5, 6, 1404sqlem10 15858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
142139simprd 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)
14312, 5, 13, 1424sqlem10 15858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
14496adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
14598adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
14638recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
14710zcnd 11690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
148146, 147subeq0ad 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
149148adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
150140, 149mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))
15110adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
152150, 151eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℤ)
153145, 152zsubcld 11694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
154100adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
155154, 152zsubcld 11694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
156 dvds2add 15224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
157144, 153, 155, 156syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
158141, 143, 157mp2and 679 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
15998zcnd 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
160100zcnd 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
161159, 160, 146, 146addsub4d 10645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
16243oveq2d 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
163161, 162eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
164163adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
165158, 164breqtrd 4813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
166138simprd 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
167166simpld 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0)
16820, 5, 21, 1674sqlem10 15858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
169166simprd 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)
17027, 5, 28, 1694sqlem10 15858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
171117adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
172171, 152zsubcld 11694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
173119adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
174173, 152zsubcld 11694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
175 dvds2add 15224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
176144, 172, 174, 175syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
177168, 170, 176mp2and 679 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
178117zcnd 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
179119zcnd 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
180178, 179, 146, 146addsub4d 10645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
18143oveq2d 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
182180, 181eqtr3d 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
183182adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
184177, 183breqtrd 4813 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
185124adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
18643adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
187152, 152zaddcld 11693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
188186, 187eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℤ)
189185, 188zsubcld 11694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
190125adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
191190, 188zsubcld 11694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
192 dvds2add 15224 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))))
193144, 189, 191, 192syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))))
194165, 184, 193mp2and 679 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
195124zcnd 11690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
196125zcnd 11690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
197195, 196, 42, 42addsub4d 10645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
19851oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
199197, 198eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
200199adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
201194, 200breqtrd 4813 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
202124, 125zaddcld 11693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
203202adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
204 dvdssubr 15236 . . . . . . 7 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
205144, 203, 204syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
206201, 205mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
207129, 206jaodan 942 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
208137adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
209207, 208breqtrrd 4815 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
210209ex 397 . 2 (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
21161, 210jca 501 1 (𝜑 → (𝑅𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  infcinf 8507  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  0cn0 11499  cz 11584  cuz 11893  ...cfz 12533   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425
This theorem is referenced by:  4sqlem17  15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator