MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4pos 11308
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos 0 < 4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 11286 . . 3 3 ∈ ℝ
2 1re 10231 . . 3 1 ∈ ℝ
3 3pos 11306 . . 3 0 < 3
4 0lt1 10742 . . 3 0 < 1
51, 2, 3, 4addgt0ii 10762 . 2 0 < (3 + 1)
6 df-4 11273 . 2 4 = (3 + 1)
75, 6breqtrri 4831 1 0 < 4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  3c3 11263  4c4 11264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273
This theorem is referenced by:  4ne0  11309  5pos  11310  div4p1lem1div2  11479  fldiv4p1lem1div2  12830  iexpcyc  13163  discr  13195  faclbnd2  13272  sqrt2gt1lt2  14214  flodddiv4  15339  pcoass  23024  csbren  23382  minveclem2  23397  dveflem  23941  sincos4thpi  24464  log2cnv  24870  chtublem  25135  bposlem6  25213  gausslemma2dlem0d  25283  2sqlem11  25353  chebbnd1lem3  25359  chebbnd1  25360  pntibndlem1  25477  pntlemb  25485  pntlemg  25486  pntlemr  25490  pntlemf  25493  usgrexmplef  26350  upgr4cycl4dv4e  27337  minvecolem2  28040  minvecolem3  28041  normlem6  28281  sqsscirc1  30263  hgt750lem  31038  limclner  40386  stoweid  40783  stirlinglem10  40803  stirlinglem12  40805  bgoldbtbndlem3  42205
  Copyright terms: Public domain W3C validator