MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4cphipval2 23259
Description: Four times the inner product value cphipval2 23258. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval2.m = (-g𝑊)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
4cphipval2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))))

Proof of Theorem 4cphipval2
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 cphipfval.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 cphipfval.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
4 cphipfval.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 cphipfval.i . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
6 cphipval2.m . . . 4 = (-g𝑊)
7 cphipval2.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphipval2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 23258 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
109oveq2d 6808 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
117, 8cphsubrg 23198 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12 cnfldbas 19964 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
1312subrgss 18990 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
1514adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16153ad2ant1 1126 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17 simp1l 1238 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
18 cphngp 23191 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19 ngpgrp 22622 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
2120adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
221, 2grpcl 17637 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
2321, 22syl3an1 1165 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
241, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23214 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
2517, 23, 24syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
2616, 25sseldd 3751 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2726sqcld 13212 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
281, 6grpsubcl 17702 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
2921, 28syl3an1 1165 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
301, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23214 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ 𝐾)
3117, 29, 30syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3751 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
3332sqcld 13212 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
3427, 33subcld 10593 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
35 ax-icn 10196 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
3717, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
38 simp2 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
39 cphlmod 23192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
41403ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
42 simp1r 1239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
43 simp3 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
441, 7, 3, 8lmodvscl 19089 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
461, 2grpcl 17637 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
4737, 38, 45, 46syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
481, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23214 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
4917, 47, 48syl2anc 565 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
5016, 49sseldd 3751 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
5150sqcld 13212 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
521, 6grpsubcl 17702 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
5337, 38, 45, 52syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
541, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23214 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
5517, 53, 54syl2anc 565 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
5616, 55sseldd 3751 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
5756sqcld 13212 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
5851, 57subcld 10593 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
5936, 58mulcld 10261 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
6034, 59addcld 10260 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
61 4cn 11299 . . . 4 4 ∈ ℂ
6261a1i 11 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 4 ∈ ℂ)
63 4ne0 11318 . . . 4 4 ≠ 0
6463a1i 11 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 4 ≠ 0)
6560, 62, 64divcan2d 11004 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))))
6610, 65eqtrd 2804 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wss 3721  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  ici 10139   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  4c4 11273  cexp 13066  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  ·𝑖cip 16153  Grpcgrp 17629  -gcsg 17631  SubRingcsubrg 18985  LModclmod 19072  fldccnfld 19960  normcnm 22600  NrmGrpcngp 22601  ℂPreHilccph 23184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-topgen 16311  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-subrg 18987  df-staf 19054  df-srng 19055  df-lmod 19074  df-lmhm 19234  df-lvec 19315  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-phl 20187  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-xms 22344  df-ms 22345  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-nlm 22610  df-clm 23081  df-cph 23186
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator