Theorem 4bc2eq6 13310

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11580	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 11603	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 11601	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1424	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 11282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 11289	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 11390	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 10352	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 12528	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 710	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 13286	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 11502	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 13259	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 11273	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6355	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6824	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2792	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 10562	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6355	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 13260	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2782	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6825	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 11369	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2782	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6825	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 13264	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 11222	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 11309	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 10964	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 13261	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2782	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2782	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2782	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  6c6 11266  ℕ₀cn0 11484  ℤcz 11569  ...cfz 12519  !cfa 13254  Ccbc 13283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-fac 13255  df-bc 13284

This theorem is referenced by:  bpoly4  14989  ex-bc  27620