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Theorem 4atlem10 35414
Description: Lemma for 4at 35421. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem10
StepHypRef Expression
1 simp11 1246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 35172 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp21l 1375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
5 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 4at.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35098 . . . 4 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp21r 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
105, 6atbase 35098 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
135, 12, 6hlatjcl 35175 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14133ad2ant1 1128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp22 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑉𝐴)
16 simp23 1251 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑊𝐴)
175, 12, 6hlatjcl 35175 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
181, 15, 16, 17syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
195, 12latjcl 17273 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
203, 14, 18, 19syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
21 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
225, 21, 12latjle12 17284 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
233, 8, 11, 20, 22syl13anc 1479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
24 simp11 1246 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
254, 9, 153jca 1123 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴))
26253ad2ant1 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴))
27163ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
28 simp2 1132 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
29 simp33 1254 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
30293ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
3127, 28, 303jca 1123 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
32 simp3 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
3321, 12, 64atlem10b 35413 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
3424, 26, 31, 32, 33syl31anc 1480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
35343exp 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))))
3612, 6hlatjcom 35176 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅) = (𝑅 𝑆))
371, 9, 4, 36syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆 𝑅) = (𝑅 𝑆))
3837oveq2d 6831 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
39383ad2ant1 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
40 simp11 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
419, 4, 153jca 1123 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴))
42413ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴))
43163ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
44 simp2 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
45 simp12 1247 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
46 simp13 1248 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
4745, 46jca 555 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴))
48 simp21 1249 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
49 simp32 1253 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
5021, 12, 64atlem0a 35401 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
511, 47, 48, 49, 29, 50syl32anc 1485 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
52513ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
5343, 44, 523jca 1123 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
54 simprr 813 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
55 simprl 811 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5654, 55jca 555 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
57563adant2 1126 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
5821, 12, 64atlem10b 35413 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑅𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑆))) ∧ (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
5940, 42, 53, 57, 58syl31anc 1480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑆 𝑅)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
6039, 59eqtr3d 2797 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
61603exp 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))))
62 simp1 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
63 simp3 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6421, 12, 64atlem3b 35406 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6562, 4, 9, 16, 63, 64syl131anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6635, 61, 65mpjaod 395 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
6723, 66sylbird 250 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ((𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  joincjn 17166  Latclat 17267  Atomscatm 35072  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308
This theorem is referenced by:  4atlem11b  35416
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