Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 16036
 Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11513 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 11388 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11720 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 11517 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 11714 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11512 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11510 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11880 . . 3 3 < 10
9 8nn 11393 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 11879 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 11748 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11734 . 2 43 < 841
13 4nn 11389 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 11882 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 11748 . 2 1 < 43
16 2cn 11293 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 10245 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 11282 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 15974 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 11714 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 11233 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2771 . . . 4 14 = 14
247dec0h 11724 . . . 4 1 = 01
25 3cn 11297 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 10244 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 6805 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 11355 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2793 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 11511 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 11353 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 11300 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 11833 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 10249 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 11737 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11769 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 11398 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 15344 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 11403 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 15975 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 11392 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 11515 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 11853 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 11737 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 11416 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 15344 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 11720 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 11727 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2771 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2771 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 10425 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 6803 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 10425 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 11724 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2797 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11767 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 10752 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 11732 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 15344 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 11720 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2771 . . . 4 13 = 13
671dec0h 11724 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 11382 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 6803 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 11823 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2793 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11767 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 11748 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 15344 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 11720 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 11394 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 11502 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 11502 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2771 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 11724 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 11346 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 11849 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 11336 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 11232 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 10430 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11781 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11767 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 11874 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 11748 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 15344 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 11720 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 11390 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 11502 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2771 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 11724 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 11864 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 11816 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11781 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11767 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 11878 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 11748 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 15344 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 11720 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 11387 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 11727 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 11232 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 10244 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2771 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11771 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 11316 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 11732 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 15344 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 16034 1 43 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  ;cdc 11695  ℙcprime 15592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593 This theorem is referenced by:  bpos1  25229
 Copyright terms: Public domain W3C validator