Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprmlem2 42037
Description: Lemma 2 for 41prothprm 42038. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p 𝑃 = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5 𝑃 = 41
2141prothprmlem1 42036 . . . 4 ((𝑃 − 1) / 2) = 20
32oveq2i 6816 . . 3 (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑20)
43oveq1i 6815 . 2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑20) mod 𝑃)
5 5cn 11284 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6 4cn 11282 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
7 5t4e20 11821 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
85, 6, 7mulcomli 10231 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
98eqcomi 2761 . . . . . . 7 20 = (4 · 5)
109oveq2i 6816 . . . . . 6 (3↑20) = (3↑(4 · 5))
11 3cn 11279 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
12 4nn0 11495 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 5nn0 11496 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
14 expmul 13091 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
1511, 12, 13, 14mp3an 1565 . . . . . 6 (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
1610, 15eqtri 2774 . . . . 5 (3↑20) = ((3↑4)↑5)
1716oveq1i 6815 . . . 4 ((3↑20) mod 41) = (((3↑4)↑5) mod 41)
18 3z 11594 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
19 zexpcl 13061 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
2018, 12, 19mp2an 710 . . . . . 6 (3↑4) ∈ ℤ
21 neg1z 11597 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
2220, 21pm3.2i 470 . . . . 5 ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23 1nn 11215 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2412, 23decnncl 11702 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
25 nnrp 12027 . . . . . . 7 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 41 ∈ ℝ+
2713, 26pm3.2i 470 . . . . 5 (5 ∈ ℕ041 ∈ ℝ+)
28 3exp4mod41 42035 . . . . 5 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
29 modexp 13185 . . . . 5 ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ041 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)) → (((3↑4)↑5) mod 41) = ((-1↑5) mod 41))
3022, 27, 28, 29mp3an 1565 . . . 4 (((3↑4)↑5) mod 41) = ((-1↑5) mod 41)
31 3p2e5 11344 . . . . . . . 8 (3 + 2) = 5
3231eqcomi 2761 . . . . . . 7 5 = (3 + 2)
3332oveq2i 6816 . . . . . 6 (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34 2z 11593 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
35 m1expaddsub 18110 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
3618, 34, 35mp2an 710 . . . . . . 7 (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
3736eqcomi 2761 . . . . . 6 (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38 2cn 11275 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
39 ax-1cn 10178 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
40 2p1e3 11335 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
4111, 38, 39, 40subaddrii 10554 . . . . . . . 8 (3 − 2) = 1
4241oveq2i 6816 . . . . . . 7 (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43 neg1cn 11308 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
44 exp1 13052 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑1) = -1
4642, 45eqtri 2774 . . . . . 6 (-1↑(3 − 2)) = -1
4733, 37, 463eqtri 2778 . . . . 5 (-1↑5) = -1
4847oveq1i 6815 . . . 4 ((-1↑5) mod 41) = (-1 mod 41)
4917, 30, 483eqtri 2778 . . 3 ((3↑20) mod 41) = (-1 mod 41)
501oveq2i 6816 . . 3 ((3↑20) mod 𝑃) = ((3↑20) mod 41)
511oveq2i 6816 . . 3 (-1 mod 𝑃) = (-1 mod 41)
5249, 50, 513eqtr4i 2784 . 2 ((3↑20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
534, 52eqtri 2774 1 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  3c3 11255  4c4 11256  5c5 11257  0cn0 11476  cz 11561  cdc 11677  +crp 12017   mod cmo 12854  cexp 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047
This theorem is referenced by:  41prothprm  42038
  Copyright terms: Public domain W3C validator