Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprm 42064
Description: 41 is a Proth prime. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p 𝑃 = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprm (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem 41prothprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . 3 𝑃 = 41
2141prothprmlem2 42063 . 2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
3 dfdec10 11709 . . 3 41 = ((10 · 4) + 1)
4 4t2e8 11393 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
5 4cn 11310 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
6 2cn 11303 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
75, 6mulcomi 10258 . . . . . . . 8 (4 · 2) = (2 · 4)
84, 7eqtr3i 2784 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
98oveq2i 6825 . . . . . 6 (5 · 8) = (5 · (2 · 4))
10 5cn 11312 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
1110, 6, 5mulassi 10261 . . . . . 6 ((5 · 2) · 4) = (5 · (2 · 4))
12 5t2e10 11846 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
1312oveq1i 6824 . . . . . 6 ((5 · 2) · 4) = (10 · 4)
149, 11, 133eqtr2i 2788 . . . . 5 (5 · 8) = (10 · 4)
15 cu2 13177 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
1615eqcomi 2769 . . . . . 6 8 = (2↑3)
1716oveq2i 6825 . . . . 5 (5 · 8) = (5 · (2↑3))
1814, 17eqtr3i 2784 . . . 4 (10 · 4) = (5 · (2↑3))
1918oveq1i 6824 . . 3 ((10 · 4) + 1) = ((5 · (2↑3)) + 1)
201, 3, 193eqtri 2786 . 2 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)
21 simpr 479 . . 3 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1))
22 3nn 11398 . . . . 5 3 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 3 ∈ ℕ)
24 5nn 11400 . . . . 5 5 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 ∈ ℕ)
26 5lt8 11429 . . . . . 6 5 < 8
2726, 15breqtrri 4831 . . . . 5 5 < (2↑3)
2827a1i 11 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 5 < (2↑3))
29 3z 11622 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
3029a1i 11 . . . . . 6 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
31 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 3 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑((𝑃 − 1) / 2)))
3231oveq1d 6829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 3 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3332eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
3433adantl 473 . . . . . 6 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑥 = 3) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35 id 22 . . . . . 6 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3630, 34, 35rspcedvd 3456 . . . . 5 (((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3736adantr 472 . . . 4 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
3823, 25, 21, 28, 37proththd 42059 . . 3 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3921, 38jca 555 . 2 ((((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ∧ 𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1)) → (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ))
402, 20, 39mp2an 710 1 (𝑃 = ((5 · (2↑3)) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  8c8 11288  cz 11589  cdc 11705   mod cmo 12882  cexp 13074  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-odz 15692  df-phi 15693  df-pc 15764
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator