MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001prm 16058
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 16021 . 2 5 ∈ ℙ
2 8nn 11392 . . . 4 8 ∈ ℕ
32decnncl2 11726 . . 3 80 ∈ ℕ
43decnncl2 11726 . 2 800 ∈ ℕ
5 4nn0 11512 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
6 0nn0 11508 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11713 . . . . . . 7 40 ∈ ℕ0
87, 6deccl 11713 . . . . . 6 400 ∈ ℕ0
98, 6deccl 11713 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
109nn0cni 11505 . . . 4 4000 ∈ ℂ
11 ax-1cn 10195 . . . 4 1 ∈ ℂ
12 4001prm.1 . . . . 5 𝑁 = 4001
1311addid2i 10425 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 eqid 2770 . . . . . 6 4000 = 4000
158, 6, 13, 14decsuc 11736 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1612, 15eqtr4i 2795 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
1710, 11, 16mvrraddi 10499 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
18 5nn0 11513 . . . 4 5 ∈ ℕ0
19 8nn0 11516 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2019, 6deccl 11713 . . . 4 80 ∈ ℕ0
21 eqid 2770 . . . 4 800 = 800
22 eqid 2770 . . . . 5 80 = 80
23 8t5e40 11857 . . . . 5 (8 · 5) = 40
24 5cn 11301 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
2524mul02i 10426 . . . . 5 (0 · 5) = 0
2618, 19, 6, 22, 6, 23, 25decmul1 11785 . . . 4 (80 · 5) = 400
2718, 20, 6, 21, 6, 26, 25decmul1 11785 . . 3 (800 · 5) = 4000
2817, 27eqtr4i 2795 . 2 (𝑁 − 1) = (800 · 5)
29 1nn0 11509 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
308, 29deccl 11713 . . . . . 6 4001 ∈ ℕ0
3112, 30eqeltri 2845 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3231nn0cni 11505 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
33 npcan 10491 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3432, 11, 33mp2an 664 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
3534eqcomi 2779 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36 3nn0 11511 . . 3 3 ∈ ℕ0
37 2nn 11386 . . 3 2 ∈ ℕ
3836, 37decnncl 11719 . 2 32 ∈ ℕ
39 3nn 11387 . 2 3 ∈ ℕ
40 2nn0 11510 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4136, 40deccl 11713 . . . 4 32 ∈ ℕ0
4229, 40deccl 11713 . . . 4 12 ∈ ℕ0
43 2p1e3 11352 . . . . 5 (2 + 1) = 3
4424sqvali 13149 . . . . . . 7 (5↑2) = (5 · 5)
45 5t5e25 11839 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
4644, 45eqtri 2792 . . . . . 6 (5↑2) = 25
47 2cn 11292 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
48 5t2e10 11834 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
4924, 47, 48mulcomli 10248 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
5047addid2i 10425 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
5129, 6, 40, 49, 50decaddi 11779 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = 12
5218, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45decmul1c 11787 . . . . 5 ((5↑2) · 5) = 125
5318, 40, 43, 52numexpp1 15988 . . . 4 (5↑3) = 125
54 6nn0 11514 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
5529, 54deccl 11713 . . . 4 16 ∈ ℕ0
56 eqid 2770 . . . . 5 12 = 12
57 eqid 2770 . . . . 5 16 = 16
58 7nn0 11515 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
59 7cn 11305 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
60 7p1e8 11358 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6159, 11, 60addcomli 10429 . . . . . . 7 (1 + 7) = 8
6261, 19eqeltri 2845 . . . . . 6 (1 + 7) ∈ ℕ0
63 eqid 2770 . . . . . 6 32 = 32
64 3t1e3 11379 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
6564oveq1i 6802 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66 3p1e4 11354 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
6765, 66eqtri 2792 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
68 2t1e2 11377 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
6968, 61oveq12i 6804 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70 8cn 11307 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
71 8p2e10 11810 . . . . . . . 8 (8 + 2) = 10
7270, 47, 71addcomli 10429 . . . . . . 7 (2 + 8) = 10
7369, 72eqtri 2792 . . . . . 6 ((2 · 1) + (1 + 7)) = 10
7436, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73decrmac 11777 . . . . 5 ((32 · 1) + (1 + 7)) = 40
75 3t2e6 11380 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
7675oveq1i 6802 . . . . . . 7 ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77 6p1e7 11357 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
7876, 77eqtri 2792 . . . . . 6 ((3 · 2) + 1) = 7
79 2t2e4 11378 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
8079oveq1i 6802 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81 6cn 11303 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
82 4cn 11299 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
83 6p4e10 11798 . . . . . . . 8 (6 + 4) = 10
8481, 82, 83addcomli 10429 . . . . . . 7 (4 + 6) = 10
8580, 84eqtri 2792 . . . . . 6 ((2 · 2) + 6) = 10
8636, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85decrmac 11777 . . . . 5 ((32 · 2) + 6) = 70
8729, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86decma2c 11768 . . . 4 ((32 · 12) + 16) = 400
88 5p1e6 11356 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
89 3cn 11296 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
90 5t3e15 11835 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
9124, 89, 90mulcomli 10248 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
9229, 18, 88, 91decsuc 11736 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
9318, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49decmul1c 11787 . . . 4 (32 · 5) = 160
9441, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93decmul2c 11789 . . 3 (32 · (5↑3)) = 4000
9517, 94eqtr4i 2795 . 2 (𝑁 − 1) = (32 · (5↑3))
96 2lt10 11880 . . . 4 2 < 10
97 1nn 11232 . . . . 5 1 ∈ ℕ
98 3lt10 11879 . . . . 5 3 < 10
9997, 40, 36, 98declti 11747 . . . 4 3 < 12
10036, 42, 40, 18, 96, 99decltc 11733 . . 3 32 < 125
101100, 53breqtrri 4811 . 2 32 < (5↑3)
102124001lem3 16056 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103124001lem4 16057 . 2 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
1041, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103pockthi 15817 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cmin 10467  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  7c7 11276  8c8 11277  0cn0 11493  cdc 11694  cexp 13066  cprime 15591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-odz 15676  df-phi 15677  df-pc 15748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator