MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem4 15974
Description: Lemma for 4001prm 15975. Calculate the GCD of 2↑800 − 1≡2310 with 𝑁 = 4001. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem4 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1

Proof of Theorem 4001lem4
StepHypRef Expression
1 2nn 11298 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 8nn0 11428 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
3 0nn0 11420 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11625 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11625 . . . 4 800 ∈ ℕ0
6 nnexpcl 12988 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 800 ∈ ℕ0) → (2↑800) ∈ ℕ)
71, 5, 6mp2an 710 . . 3 (2↑800) ∈ ℕ
8 nnm1nn0 11447 . . 3 ((2↑800) ∈ ℕ → ((2↑800) − 1) ∈ ℕ0)
97, 8ax-mp 5 . 2 ((2↑800) − 1) ∈ ℕ0
10 2nn0 11422 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
11 3nn0 11423 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1210, 11deccl 11625 . . . 4 23 ∈ ℕ0
13 1nn0 11421 . . . 4 1 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11625 . . 3 231 ∈ ℕ0
1514, 3deccl 11625 . 2 2310 ∈ ℕ0
16 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
17 4nn0 11424 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 11625 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
1918, 3deccl 11625 . . . 4 400 ∈ ℕ0
20 1nn 11144 . . . 4 1 ∈ ℕ
2119, 20decnncl 11631 . . 3 4001 ∈ ℕ
2216, 21eqeltri 2799 . 2 𝑁 ∈ ℕ
23164001lem2 15972 . . 3 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
24 0p1e1 11245 . . . 4 (0 + 1) = 1
25 eqid 2724 . . . 4 2310 = 2310
2614, 3, 24, 25decsuc 11648 . . 3 (2310 + 1) = 2311
2722, 7, 13, 15, 23, 26modsubi 15899 . 2 (((2↑800) − 1) mod 𝑁) = (2310 mod 𝑁)
28 6nn0 11426 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11625 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
30 9nn0 11429 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11625 . . . 4 169 ∈ ℕ0
3231, 13deccl 11625 . . 3 1691 ∈ ℕ0
3328, 13deccl 11625 . . . . 5 61 ∈ ℕ0
3433, 30deccl 11625 . . . 4 619 ∈ ℕ0
35 5nn0 11425 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
3617, 35deccl 11625 . . . . . 6 45 ∈ ℕ0
3736, 11deccl 11625 . . . . 5 453 ∈ ℕ0
3829, 28deccl 11625 . . . . . 6 166 ∈ ℕ0
3913, 10deccl 11625 . . . . . . . 8 12 ∈ ℕ0
4039, 13deccl 11625 . . . . . . 7 121 ∈ ℕ0
4111, 13deccl 11625 . . . . . . . . 9 31 ∈ ℕ0
4213, 17deccl 11625 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℕ0
4342nn0zi 11515 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℤ
4411nn0zi 11515 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
45 gcdcom 15358 . . . . . . . . . . . . 13 ((14 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (14 gcd 3) = (3 gcd 14))
4643, 44, 45mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (14 gcd 3) = (3 gcd 14)
47 3nn 11299 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℕ
48 4cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℂ
49 3cn 11208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
50 4t3e12 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 · 3) = 12
5148, 49, 50mulcomli 10160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 4) = 12
52 2p2e4 11257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 2) = 4
5313, 10, 10, 51, 52decaddi 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 4) + 2) = 14
54 2lt3 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5547, 17, 1, 53, 54ndvdsi 15259 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 14
56 3prm 15529 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℙ
57 coprm 15546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℙ ∧ 14 ∈ ℤ) → (¬ 3 ∥ 14 ↔ (3 gcd 14) = 1))
5856, 43, 57mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 ∥ 14 ↔ (3 gcd 14) = 1)
5955, 58mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (3 gcd 14) = 1
6046, 59eqtri 2746 . . . . . . . . . . 11 (14 gcd 3) = 1
61 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 14 = 14
6211dec0h 11635 . . . . . . . . . . . 12 3 = 03
63 2t1e2 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
6463, 24oveq12i 6777 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
65 2p1e3 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
6664, 65eqtri 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
67 2cn 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
68 4t2e8 11294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 · 2) = 8
6948, 67, 68mulcomli 10160 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 4) = 8
7069oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 4) + 3) = (8 + 3)
71 8p3e11 11725 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 3) = 11
7270, 71eqtri 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 4) + 3) = 11
7313, 17, 3, 11, 61, 62, 10, 13, 13, 66, 72decma2c 11681 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 14) + 3) = 31
7410, 11, 42, 60, 73gcdi 15900 . . . . . . . . . 10 (31 gcd 14) = 1
75 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 31 = 31
7649mulid2i 10156 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 3) = 3
77 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
7877addid1i 10336 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 1
7976, 78oveq12i 6777 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
80 3p1e4 11266 . . . . . . . . . . . 12 (3 + 1) = 4
8179, 80eqtri 2746 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
82 1t1e1 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
8382oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + 4) = (1 + 4)
84 4p1e5 11267 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
8548, 77, 84addcomli 10341 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
8635dec0h 11635 . . . . . . . . . . . 12 5 = 05
8783, 85, 863eqtri 2750 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + 4) = 05
8811, 13, 13, 17, 75, 61, 13, 35, 3, 81, 87decma2c 11681 . . . . . . . . . 10 ((1 · 31) + 14) = 45
8913, 42, 41, 74, 88gcdi 15900 . . . . . . . . 9 (45 gcd 31) = 1
90 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 45 = 45
9169, 80oveq12i 6777 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 4) + (3 + 1)) = (8 + 4)
92 8p4e12 11727 . . . . . . . . . . 11 (8 + 4) = 12
9391, 92eqtri 2746 . . . . . . . . . 10 ((2 · 4) + (3 + 1)) = 12
94 5cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
95 5t2e10 11747 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 2) = 10
9694, 67, 95mulcomli 10160 . . . . . . . . . . 11 (2 · 5) = 10
9713, 3, 24, 96decsuc 11648 . . . . . . . . . 10 ((2 · 5) + 1) = 11
9817, 35, 11, 13, 90, 75, 10, 13, 13, 93, 97decma2c 11681 . . . . . . . . 9 ((2 · 45) + 31) = 121
9910, 41, 36, 89, 98gcdi 15900 . . . . . . . 8 (121 gcd 45) = 1
100 eqid 2724 . . . . . . . . 9 121 = 121
101 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 12 = 12
10248addid1i 10336 . . . . . . . . . . 11 (4 + 0) = 4
10317dec0h 11635 . . . . . . . . . . 11 4 = 04
104102, 103eqtri 2746 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 04
105 00id 10324 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
10682, 105oveq12i 6777 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107106, 78eqtri 2746 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10867mulid2i 10156 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 2) = 2
109108oveq1i 6775 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 2) + 4) = (2 + 4)
110 4p2e6 11275 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 2) = 6
11148, 67, 110addcomli 10341 . . . . . . . . . . 11 (2 + 4) = 6
11228dec0h 11635 . . . . . . . . . . 11 6 = 06
113109, 111, 1123eqtri 2750 . . . . . . . . . 10 ((1 · 2) + 4) = 06
11413, 10, 3, 17, 101, 104, 13, 28, 3, 107, 113decma2c 11681 . . . . . . . . 9 ((1 · 12) + (4 + 0)) = 16
11582oveq1i 6775 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) + 5) = (1 + 5)
116 5p1e6 11268 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
11794, 77, 116addcomli 10341 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
118115, 117, 1123eqtri 2750 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) + 5) = 06
11939, 13, 17, 35, 100, 90, 13, 28, 3, 114, 118decma2c 11681 . . . . . . . 8 ((1 · 121) + 45) = 166
12013, 36, 40, 99, 119gcdi 15900 . . . . . . 7 (166 gcd 121) = 1
121 eqid 2724 . . . . . . . 8 166 = 166
122 eqid 2724 . . . . . . . . 9 16 = 16
12313, 10, 65, 101decsuc 11648 . . . . . . . . 9 (12 + 1) = 13
124 1p1e2 11247 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
12563, 124oveq12i 6777 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + (1 + 1)) = (2 + 2)
126125, 52eqtri 2746 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (1 + 1)) = 4
127 6cn 11215 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
128 6t2e12 11754 . . . . . . . . . . 11 (6 · 2) = 12
129127, 67, 128mulcomli 10160 . . . . . . . . . 10 (2 · 6) = 12
130 3p2e5 11273 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
13149, 67, 130addcomli 10341 . . . . . . . . . 10 (2 + 3) = 5
13213, 10, 11, 129, 131decaddi 11692 . . . . . . . . 9 ((2 · 6) + 3) = 15
13313, 28, 13, 11, 122, 123, 10, 35, 13, 126, 132decma2c 11681 . . . . . . . 8 ((2 · 16) + (12 + 1)) = 45
13413, 10, 65, 129decsuc 11648 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + 1) = 13
13529, 28, 39, 13, 121, 100, 10, 11, 13, 133, 134decma2c 11681 . . . . . . 7 ((2 · 166) + 121) = 453
13610, 40, 38, 120, 135gcdi 15900 . . . . . 6 (453 gcd 166) = 1
137 eqid 2724 . . . . . . 7 453 = 453
13829nn0cni 11417 . . . . . . . . 9 16 ∈ ℂ
139138addid1i 10336 . . . . . . . 8 (16 + 0) = 16
14048mulid2i 10156 . . . . . . . . . 10 (1 · 4) = 4
141140, 124oveq12i 6777 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
142141, 110eqtri 2746 . . . . . . . 8 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
14394mulid2i 10156 . . . . . . . . . 10 (1 · 5) = 5
144143oveq1i 6775 . . . . . . . . 9 ((1 · 5) + 6) = (5 + 6)
145 6p5e11 11713 . . . . . . . . . 10 (6 + 5) = 11
146127, 94, 145addcomli 10341 . . . . . . . . 9 (5 + 6) = 11
147144, 146eqtri 2746 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 6) = 11
14817, 35, 13, 28, 90, 139, 13, 13, 13, 142, 147decma2c 11681 . . . . . . 7 ((1 · 45) + (16 + 0)) = 61
14976oveq1i 6775 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + 6) = (3 + 6)
150 6p3e9 11283 . . . . . . . . 9 (6 + 3) = 9
151127, 49, 150addcomli 10341 . . . . . . . 8 (3 + 6) = 9
15230dec0h 11635 . . . . . . . 8 9 = 09
153149, 151, 1523eqtri 2750 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 6) = 09
15436, 11, 29, 28, 137, 121, 13, 30, 3, 148, 153decma2c 11681 . . . . . 6 ((1 · 453) + 166) = 619
15513, 38, 37, 136, 154gcdi 15900 . . . . 5 (619 gcd 453) = 1
156 eqid 2724 . . . . . 6 619 = 619
157 7nn0 11427 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
158 eqid 2724 . . . . . . 7 61 = 61
159 5p2e7 11278 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
16017, 35, 10, 90, 159decaddi 11692 . . . . . . 7 (45 + 2) = 47
161102oveq2i 6776 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + (4 + 0)) = ((2 · 6) + 4)
16213, 10, 17, 129, 111decaddi 11692 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + 4) = 16
163161, 162eqtri 2746 . . . . . . 7 ((2 · 6) + (4 + 0)) = 16
16463oveq1i 6775 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 7) = (2 + 7)
165 7cn 11217 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
166 7p2e9 11285 . . . . . . . . 9 (7 + 2) = 9
167165, 67, 166addcomli 10341 . . . . . . . 8 (2 + 7) = 9
168164, 167, 1523eqtri 2750 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 7) = 09
16928, 13, 17, 157, 158, 160, 10, 30, 3, 163, 168decma2c 11681 . . . . . 6 ((2 · 61) + (45 + 2)) = 169
170 9cn 11221 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
171 9t2e18 11776 . . . . . . . 8 (9 · 2) = 18
172170, 67, 171mulcomli 10160 . . . . . . 7 (2 · 9) = 18
17313, 2, 11, 172, 124, 13, 71decaddci 11693 . . . . . 6 ((2 · 9) + 3) = 21
17433, 30, 36, 11, 156, 137, 10, 13, 10, 169, 173decma2c 11681 . . . . 5 ((2 · 619) + 453) = 1691
17510, 37, 34, 155, 174gcdi 15900 . . . 4 (1691 gcd 619) = 1
176 eqid 2724 . . . . 5 1691 = 1691
177 eqid 2724 . . . . . 6 169 = 169
17828, 13, 124, 158decsuc 11648 . . . . . 6 (61 + 1) = 62
179 6p1e7 11269 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
180157dec0h 11635 . . . . . . . 8 7 = 07
181179, 180eqtri 2746 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
18282, 24oveq12i 6777 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 1)) = (1 + 1)
183182, 124eqtri 2746 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 1)) = 2
184127mulid2i 10156 . . . . . . . . 9 (1 · 6) = 6
185184oveq1i 6775 . . . . . . . 8 ((1 · 6) + 7) = (6 + 7)
186 7p6e13 11721 . . . . . . . . 9 (7 + 6) = 13
187165, 127, 186addcomli 10341 . . . . . . . 8 (6 + 7) = 13
188185, 187eqtri 2746 . . . . . . 7 ((1 · 6) + 7) = 13
18913, 28, 3, 157, 122, 181, 13, 11, 13, 183, 188decma2c 11681 . . . . . 6 ((1 · 16) + (6 + 1)) = 23
190170mulid2i 10156 . . . . . . . 8 (1 · 9) = 9
191190oveq1i 6775 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 2) = (9 + 2)
192 9p2e11 11732 . . . . . . 7 (9 + 2) = 11
193191, 192eqtri 2746 . . . . . 6 ((1 · 9) + 2) = 11
19429, 30, 28, 10, 177, 178, 13, 13, 13, 189, 193decma2c 11681 . . . . 5 ((1 · 169) + (61 + 1)) = 231
19582oveq1i 6775 . . . . . 6 ((1 · 1) + 9) = (1 + 9)
196 9p1e10 11609 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
197170, 77, 196addcomli 10341 . . . . . 6 (1 + 9) = 10
198195, 197eqtri 2746 . . . . 5 ((1 · 1) + 9) = 10
19931, 13, 33, 30, 176, 156, 13, 3, 13, 194, 198decma2c 11681 . . . 4 ((1 · 1691) + 619) = 2310
20013, 34, 32, 175, 199gcdi 15900 . . 3 (2310 gcd 1691) = 1
201 eqid 2724 . . . . . 6 231 = 231
20231nn0cni 11417 . . . . . . 7 169 ∈ ℂ
203202addid1i 10336 . . . . . 6 (169 + 0) = 169
204 eqid 2724 . . . . . . 7 23 = 23
20513, 28, 179, 122decsuc 11648 . . . . . . 7 (16 + 1) = 17
206108, 124oveq12i 6777 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (1 + 1)) = (2 + 2)
207206, 52eqtri 2746 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (1 + 1)) = 4
20876oveq1i 6775 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + 7) = (3 + 7)
209 7p3e10 11716 . . . . . . . . 9 (7 + 3) = 10
210165, 49, 209addcomli 10341 . . . . . . . 8 (3 + 7) = 10
211208, 210eqtri 2746 . . . . . . 7 ((1 · 3) + 7) = 10
21210, 11, 13, 157, 204, 205, 13, 3, 13, 207, 211decma2c 11681 . . . . . 6 ((1 · 23) + (16 + 1)) = 40
21312, 13, 29, 30, 201, 203, 13, 3, 13, 212, 198decma2c 11681 . . . . 5 ((1 · 231) + (169 + 0)) = 400
21477mul01i 10339 . . . . . . 7 (1 · 0) = 0
215214oveq1i 6775 . . . . . 6 ((1 · 0) + 1) = (0 + 1)
21613dec0h 11635 . . . . . 6 1 = 01
217215, 24, 2163eqtri 2750 . . . . 5 ((1 · 0) + 1) = 01
21814, 3, 31, 13, 25, 176, 13, 13, 3, 213, 217decma2c 11681 . . . 4 ((1 · 2310) + 1691) = 4001
219218, 16eqtr4i 2749 . . 3 ((1 · 2310) + 1691) = 𝑁
22013, 32, 15, 200, 219gcdi 15900 . 2 (𝑁 gcd 2310) = 1
2219, 15, 22, 27, 220gcdmodi 15901 1 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  4c4 11185  5c5 11186  6c6 11187  7c7 11188  8c8 11189  9c9 11190  0cn0 11405  cz 11490  cdc 11606  cexp 12975  cdvds 15103   gcd cgcd 15339  cprime 15508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509
This theorem is referenced by:  4001prm  15975
  Copyright terms: Public domain W3C validator