MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 16072
Description: Lemma for 4001prm 16074. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11523 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11519 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11724 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11724 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 11243 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 11730 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11397 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11521 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 11724 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 11724 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 11724 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11600 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11520 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 11728 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 11724 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 11724 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11527 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 11724 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 11724 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11524 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 11724 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 11724 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 11614 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11522 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 11724 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 11724 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 11724 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11528 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11724 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 11724 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 16071 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 16070 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2760 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2760 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2760 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2760 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 11822 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10423 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 11782 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 11782 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 11734 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2760 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11516 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10436 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2760 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 11312 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10435 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 11734 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2782 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2760 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 11849 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 11310 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 11303 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11393 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 10259 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 19, 55, 59decmul1 11797 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 10255 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 6826 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10435 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 11788 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11516 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10438 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2786 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 11780 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 11734 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2786 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 11780 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 10254 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 10255 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11346 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 11788 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 11780 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2760 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11525 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 11724 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 11724 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2760 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2760 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2760 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11516 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10435 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11366 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2760 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 11320 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 11875 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 10259 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 11793 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11526 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11369 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 11307 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 11876 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 10259 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 11747 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 11789 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 10255 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 6826 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 11835 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 11789 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 11836 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 11778 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11516 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10438 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2786 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 11780 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11389 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11391 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 86, 123, 124decmul1 11797 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 10255 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 10, 125, 126decmul1 11797 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 10, 127, 126decmul1 11797 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 11801 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2785 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 15994 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11516 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2760 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2760 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 11732 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10437 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 3, 135, 136decmul1 11797 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 3, 137, 136decmul1 11797 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 10259 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 11242 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10437 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 6824 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10436 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2785 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2785 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 15995 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11516 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2760 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 3, 123, 136decmul1 11797 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 3, 149, 136decmul1 11797 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 3, 150, 136decmul1 11797 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 10259 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 11724 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11516 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2760 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 11747 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2785 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10510 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2785 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 15995 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  0cn0 11504  cdc 11705   mod cmo 12882  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  4001prm  16074
  Copyright terms: Public domain W3C validator