Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001lem3 16072
 Description: Lemma for 4001prm 16074. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑1000 = 2↑800 · 2↑200≡2311 · 902 = 521𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1000)↑4≡1↑4 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001lem3 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 4001lem3
StepHypRef Expression
1 4001prm.1 . . 3 𝑁 = 4001
2 4nn0 11523 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
3 0nn0 11519 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11724 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
54, 3deccl 11724 . . . 4 400 ∈ ℕ0
6 1nn 11243 . . . 4 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 11730 . . 3 4001 ∈ ℕ
81, 7eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
9 2nn 11397 . 2 2 ∈ ℕ
10 2nn0 11521 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1110, 3deccl 11724 . . . 4 20 ∈ ℕ0
1211, 3deccl 11724 . . 3 200 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 11724 . 2 2000 ∈ ℕ0
14 0z 11600 . 2 0 ∈ ℤ
15 1nn0 11520 . 2 1 ∈ ℕ0
16 10nn0 11728 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
1716, 3deccl 11724 . . . 4 100 ∈ ℕ0
1817, 3deccl 11724 . . 3 1000 ∈ ℕ0
19 8nn0 11527 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
2019, 3deccl 11724 . . . . 5 80 ∈ ℕ0
2120, 3deccl 11724 . . . 4 800 ∈ ℕ0
22 5nn0 11524 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
2322, 10deccl 11724 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
2423, 15deccl 11724 . . . . 5 521 ∈ ℕ0
2524nn0zi 11614 . . . 4 521 ∈ ℤ
26 3nn0 11522 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2710, 26deccl 11724 . . . . . 6 23 ∈ ℕ0
2827, 15deccl 11724 . . . . 5 231 ∈ ℕ0
2928, 15deccl 11724 . . . 4 2311 ∈ ℕ0
30 9nn0 11528 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
3130, 3deccl 11724 . . . . 5 90 ∈ ℕ0
3231, 10deccl 11724 . . . 4 902 ∈ ℕ0
3314001lem2 16071 . . . 4 ((2↑800) mod 𝑁) = (2311 mod 𝑁)
3414001lem1 16070 . . . 4 ((2↑200) mod 𝑁) = (902 mod 𝑁)
35 eqid 2760 . . . . 5 800 = 800
36 eqid 2760 . . . . 5 200 = 200
37 eqid 2760 . . . . . 6 80 = 80
38 eqid 2760 . . . . . 6 20 = 20
39 8p2e10 11822 . . . . . 6 (8 + 2) = 10
40 00id 10423 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4119, 3, 10, 3, 37, 38, 39, 40decadd 11782 . . . . 5 (80 + 20) = 100
4220, 3, 11, 3, 35, 36, 41, 40decadd 11782 . . . 4 (800 + 200) = 1000
4315dec0h 11734 . . . . . 6 1 = 01
44 eqid 2760 . . . . . . 7 400 = 400
4523nn0cni 11516 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
4645addid2i 10436 . . . . . . 7 (0 + 52) = 52
47 eqid 2760 . . . . . . . 8 40 = 40
48 5cn 11312 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
4948addid1i 10435 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
5022dec0h 11734 . . . . . . . . 9 5 = 05
5149, 50eqtri 2782 . . . . . . . 8 (5 + 0) = 05
5240, 3eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (0 + 0) ∈ ℕ0
53 eqid 2760 . . . . . . . . 9 521 = 521
54 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 52 = 52
55 5t4e20 11849 . . . . . . . . . 10 (5 · 4) = 20
56 4cn 11310 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
57 2cn 11303 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
58 4t2e8 11393 . . . . . . . . . . 11 (4 · 2) = 8
5956, 57, 58mulcomli 10259 . . . . . . . . . 10 (2 · 4) = 8
602, 22, 10, 54, 19, 55, 59decmul1 11797 . . . . . . . . 9 (52 · 4) = 208
6156mulid2i 10255 . . . . . . . . . . 11 (1 · 4) = 4
6261, 40oveq12i 6826 . . . . . . . . . 10 ((1 · 4) + (0 + 0)) = (4 + 0)
6356addid1i 10435 . . . . . . . . . 10 (4 + 0) = 4
6462, 63eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 4) + (0 + 0)) = 4
6523, 15, 52, 53, 2, 60, 64decrmanc 11788 . . . . . . . 8 ((521 · 4) + (0 + 0)) = 2084
6624nn0cni 11516 . . . . . . . . . . 11 521 ∈ ℂ
6766mul01i 10438 . . . . . . . . . 10 (521 · 0) = 0
6867oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((521 · 0) + 5) = (0 + 5)
6948addid2i 10436 . . . . . . . . 9 (0 + 5) = 5
7068, 69, 503eqtri 2786 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 5) = 05
712, 3, 3, 22, 47, 51, 24, 22, 3, 65, 70decma2c 11780 . . . . . . 7 ((521 · 40) + (5 + 0)) = 20845
7267oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((521 · 0) + 2) = (0 + 2)
7357addid2i 10436 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7410dec0h 11734 . . . . . . . 8 2 = 02
7572, 73, 743eqtri 2786 . . . . . . 7 ((521 · 0) + 2) = 02
764, 3, 22, 10, 44, 46, 24, 10, 3, 71, 75decma2c 11780 . . . . . 6 ((521 · 400) + (0 + 52)) = 208452
7745mulid1i 10254 . . . . . . 7 (52 · 1) = 52
78 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
7978mulid2i 10255 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
8079oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
81 1p1e2 11346 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
8280, 81eqtri 2782 . . . . . . 7 ((1 · 1) + 1) = 2
8323, 15, 15, 53, 15, 77, 82decrmanc 11788 . . . . . 6 ((521 · 1) + 1) = 522
845, 15, 3, 15, 1, 43, 24, 10, 23, 76, 83decma2c 11780 . . . . 5 ((521 · 𝑁) + 1) = 2084522
85 eqid 2760 . . . . . 6 902 = 902
86 6nn0 11525 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
872, 86deccl 11724 . . . . . . 7 46 ∈ ℕ0
8887, 10deccl 11724 . . . . . 6 462 ∈ ℕ0
89 eqid 2760 . . . . . . 7 90 = 90
90 eqid 2760 . . . . . . 7 462 = 462
91 eqid 2760 . . . . . . . 8 2311 = 2311
9287nn0cni 11516 . . . . . . . . 9 46 ∈ ℂ
9392addid1i 10435 . . . . . . . 8 (46 + 0) = 46
94 4p1e5 11366 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
9594, 22eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (4 + 1) ∈ ℕ0
96 eqid 2760 . . . . . . . . 9 231 = 231
97 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 23 = 23
98 9cn 11320 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
99 9t2e18 11875 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
10098, 57, 99mulcomli 10259 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
10115, 19, 10, 100, 81, 39decaddci2 11793 . . . . . . . . . 10 ((2 · 9) + 2) = 20
102 7nn0 11526 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
103 7p1e8 11369 . . . . . . . . . . 11 (7 + 1) = 8
104 3cn 11307 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
105 9t3e27 11876 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 3) = 27
10698, 104, 105mulcomli 10259 . . . . . . . . . . 11 (3 · 9) = 27
10710, 102, 103, 106decsuc 11747 . . . . . . . . . 10 ((3 · 9) + 1) = 28
10810, 26, 15, 97, 30, 19, 10, 101, 107decrmac 11789 . . . . . . . . 9 ((23 · 9) + 1) = 208
10998mulid2i 10255 . . . . . . . . . . 11 (1 · 9) = 9
110109, 94oveq12i 6826 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + (4 + 1)) = (9 + 5)
111 9p5e14 11835 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
112110, 111eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + (4 + 1)) = 14
11327, 15, 95, 96, 30, 2, 15, 108, 112decrmac 11789 . . . . . . . 8 ((231 · 9) + (4 + 1)) = 2084
114109oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 6) = (9 + 6)
115 9p6e15 11836 . . . . . . . . 9 (9 + 6) = 15
116114, 115eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 6) = 15
11728, 15, 2, 86, 91, 93, 30, 22, 15, 113, 116decmac 11778 . . . . . . 7 ((2311 · 9) + (46 + 0)) = 20845
11829nn0cni 11516 . . . . . . . . . 10 2311 ∈ ℂ
119118mul01i 10438 . . . . . . . . 9 (2311 · 0) = 0
120119oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((2311 · 0) + 2) = (0 + 2)
121120, 73, 743eqtri 2786 . . . . . . 7 ((2311 · 0) + 2) = 02
12230, 3, 87, 10, 89, 90, 29, 10, 3, 117, 121decma2c 11780 . . . . . 6 ((2311 · 90) + 462) = 208452
123 2t2e4 11389 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
124 3t2e6 11391 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = 6
12510, 10, 26, 97, 86, 123, 124decmul1 11797 . . . . . . . 8 (23 · 2) = 46
12657mulid2i 10255 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
12710, 27, 15, 96, 10, 125, 126decmul1 11797 . . . . . . 7 (231 · 2) = 462
12810, 28, 15, 91, 10, 127, 126decmul1 11797 . . . . . 6 (2311 · 2) = 4622
12929, 31, 10, 85, 10, 88, 122, 128decmul2c 11801 . . . . 5 (2311 · 902) = 2084522
13084, 129eqtr4i 2785 . . . 4 ((521 · 𝑁) + 1) = (2311 · 902)
1318, 9, 21, 25, 29, 15, 12, 32, 33, 34, 42, 130modxai 15994 . . 3 ((2↑1000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
13218nn0cni 11516 . . . 4 1000 ∈ ℂ
133 eqid 2760 . . . . 5 1000 = 1000
134 eqid 2760 . . . . . 6 100 = 100
13510dec0u 11732 . . . . . 6 (10 · 2) = 20
13657mul02i 10437 . . . . . 6 (0 · 2) = 0
13710, 16, 3, 134, 3, 135, 136decmul1 11797 . . . . 5 (100 · 2) = 200
13810, 17, 3, 133, 3, 137, 136decmul1 11797 . . . 4 (1000 · 2) = 2000
139132, 57, 138mulcomli 10259 . . 3 (2 · 1000) = 2000
1408nncni 11242 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
141140mul02i 10437 . . . . 5 (0 · 𝑁) = 0
142141oveq1i 6824 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
14378addid2i 10436 . . . . 5 (0 + 1) = 1
14479, 143eqtr4i 2785 . . . 4 (1 · 1) = (0 + 1)
145142, 144eqtr4i 2785 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
1468, 9, 18, 14, 15, 15, 131, 139, 145mod2xi 15995 . 2 ((2↑2000) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
14713nn0cni 11516 . . . 4 2000 ∈ ℂ
148 eqid 2760 . . . . 5 2000 = 2000
14910, 10, 3, 38, 3, 123, 136decmul1 11797 . . . . . 6 (20 · 2) = 40
15010, 11, 3, 36, 3, 149, 136decmul1 11797 . . . . 5 (200 · 2) = 400
15110, 12, 3, 148, 3, 150, 136decmul1 11797 . . . 4 (2000 · 2) = 4000
152147, 57, 151mulcomli 10259 . . 3 (2 · 2000) = 4000
1535, 3deccl 11724 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
154153nn0cni 11516 . . . 4 4000 ∈ ℂ
155 eqid 2760 . . . . . 6 4000 = 4000
1565, 3, 143, 155decsuc 11747 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1571, 156eqtr4i 2785 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
158154, 78, 157mvrraddi 10510 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
159152, 158eqtr4i 2785 . 2 (2 · 2000) = (𝑁 − 1)
1608, 9, 13, 14, 15, 15, 146, 159, 145mod2xi 15995 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1632  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  ℕcn 11232  2c2 11282  3c3 11283  4c4 11284  5c5 11285  6c6 11286  7c7 11287  8c8 11288  9c9 11289  ℕ0cn0 11504  ;cdc 11705   mod cmo 12882  ↑cexp 13074 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075 This theorem is referenced by:  4001prm  16074
 Copyright terms: Public domain W3C validator