MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3z 11602
Description: 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
3z 3 ∈ ℤ

Proof of Theorem 3z
StepHypRef Expression
1 3nn 11378 . 2 3 ∈ ℕ
21nnzi 11593 1 3 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  3c3 11263  cz 11569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-z 11570
This theorem is referenced by:  fz0to4untppr  12636  4fvwrd4  12653  fzo13pr  12746  fzo0to3tp  12748  expnass  13164  sin01gt0  15119  3dvds  15254  3dvdsOLD  15255  3dvdsdec  15256  3dvdsdecOLD  15257  3dvds2dec  15258  3dvds2decOLD  15259  n2dvds3  15309  3lcm2e6woprm  15530  lcmf2a3a4e12  15562  3prm  15608  oddprmge3  15614  iblcnlem1  23753  dcubic1lem  24769  dcubic2  24770  dcubic  24772  cubic2  24774  cubic  24775  quart  24787  ppiublem1  25126  ppiublem2  25127  ppiub  25128  chtub  25136  bposlem4  25211  bposlem5  25212  bposlem8  25215  lgsdir2lem5  25253  2lgsoddprmlem3  25338  dchrvmasumiflem1  25389  mulog2sumlem2  25423  pntlemo  25495  pntlem3  25497  pntleml  25499  istrkg3ld  25559  axlowdimlem7  26027  axlowdimlem16  26036  axlowdimlem17  26037  usgrexmplef  26350  wlk2v2e  27309  ex-bc  27620  ex-dvds  27624  ex-gcd  27625  ex-ind-dvds  27629  prodfzo03  30990  hgt750lemd  31035  jm2.23  38065  jm2.20nn  38066  inductionexd  38955  lhe4.4ex1a  39030  wallispilem4  40788  smfmullem2  41505  smfmullem4  41507  fmtnoge3  41952  fmtnoprmfac2lem1  41988  31prm  42022  lighneallem4b  42036  41prothprmlem2  42045  41prothprm  42046  6even  42130  sbgoldbalt  42179  sbgoldbo  42185  nnsum3primesle9  42192  nnsum4primesodd  42194  nnsum4primesoddALTV  42195  nnsum4primeseven  42198  nnsum4primesevenALTV  42199  linevalexample  42694  zlmodzxzequa  42795  zlmodzxznm  42796  zlmodzxzequap  42798  zlmodzxzldeplem3  42801  zlmodzxzldep  42803  ldepsnlinclem2  42805  ldepsnlinc  42807
  Copyright terms: Public domain W3C validator