MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3reeanv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3reeanv 3238
Description: Rearrange three restricted existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
3reeanv (∃𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐶 (𝜑𝜓𝜒) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓 ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem 3reeanv
StepHypRef Expression
1 r19.41v 3219 . . 3 (∃𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒) ↔ (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
2 reeanv 3237 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓))
32anbi1i 733 . . 3 ((∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒) ↔ ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
41, 3bitri 264 . 2 (∃𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒) ↔ ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
5 df-3an 1074 . . . . 5 ((𝜑𝜓𝜒) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ 𝜒))
652rexbii 3172 . . . 4 (∃𝑦𝐵𝑧𝐶 (𝜑𝜓𝜒) ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝐶 ((𝜑𝜓) ∧ 𝜒))
7 reeanv 3237 . . . 4 (∃𝑦𝐵𝑧𝐶 ((𝜑𝜓) ∧ 𝜒) ↔ (∃𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
86, 7bitri 264 . . 3 (∃𝑦𝐵𝑧𝐶 (𝜑𝜓𝜒) ↔ (∃𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
98rexbii 3171 . 2 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐶 (𝜑𝜓𝜒) ↔ ∃𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
10 df-3an 1074 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓 ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒) ↔ ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓) ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
114, 9, 103bitr4i 292 1 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵𝑧𝐶 (𝜑𝜓𝜒) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓 ∧ ∃𝑧𝐶 𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072  wrex 3043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-ral 3047  df-rex 3048
This theorem is referenced by:  imasmnd2  17520  imasgrp2  17723  imasring  18811  axeuclid  26034  lshpkrlem6  34897
  Copyright terms: Public domain W3C validator