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Theorem 3pthdlem1 27308
 Description: Lemma 1 for 3pthd 27318. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝐾(𝑗)   𝐿(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 3pthdlem1
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 27305 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
6 simpr1l 1288 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐵)
7 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
87adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
118, 10neeq12d 2985 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1211adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
136, 12mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 simpr1r 1290 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐶)
16 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
188, 17neeq12d 2985 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
1918adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2015, 19mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
2120a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2214, 21jca 555 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23 eqid 2752 . . . . . . . 8 1 = 1
24232a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
2524necon3d 2945 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26 simpr2l 1292 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐶)
2710, 17neeq12d 2985 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2827adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2926, 28mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
3029a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3125, 30jca 555 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
3229necomd 2979 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
3332a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34 eqid 2752 . . . . . . . 8 2 = 2
35342a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
3635necon3d 2945 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37 simpr2r 1294 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐷)
38 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
4010, 39neeq12d 2985 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4140adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4237, 41mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
4342necomd 2979 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45 simp3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
4645necomd 2979 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷𝐶)
4746adantl 473 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐷𝐶)
48 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
5048, 49neeq12d 2985 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5150ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5251adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5352adantr 472 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5447, 53mpbird 247 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
5554a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
5644, 55jca 555 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
5733, 36, 56jca31 558 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
5822, 31, 57jca31 558 . . . 4 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
594, 5, 58syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
601fveq2i 6347 . . . . . . . 8 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61 s4len 13836 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
6260, 61eqtri 2774 . . . . . . 7 (♯‘𝑃) = 4
6362oveq2i 6816 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^4)
64 fzo0to42pr 12741 . . . . . 6 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6563, 64eqtri 2774 . . . . 5 (0..^(♯‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6665raleqi 3273 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67 ralunb 3929 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68 c0ex 10218 . . . . . 6 0 ∈ V
69 1ex 10219 . . . . . 6 1 ∈ V
70 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
7271neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
7370, 72imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
7571neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
7674, 75imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
7773, 76anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
8079neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
8178, 80imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
8379neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
8482, 83imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
8581, 84anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
8668, 69, 77, 85ralpr 4374 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87 2ex 11276 . . . . . 6 2 ∈ V
88 3ex 11280 . . . . . 6 3 ∈ V
89 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
9190neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
9289, 91imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
9490neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
9593, 94imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
9692, 95anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
9998neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
10097, 99imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101 neeq1 2986 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
10298neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103101, 102imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104100, 103anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10587, 88, 96, 104ralpr 4374 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10686, 105anbi12i 735 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10766, 67, 1063bitri 286 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10859, 107sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
1092fveq2i 6347 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110 s3len 13831 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111109, 110eqtri 2774 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = 3
112111oveq2i 6816 . . . . . 6 (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^3)
113 fzo13pr 12738 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
114112, 113eqtri 2774 . . . . 5 (1..^(♯‘𝐹)) = {1, 2}
115114raleqi 3273 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
116 neeq2 2987 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
117 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
118117neeq2d 2984 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119116, 118imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120 neeq2 2987 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 2))
121 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘2))
122121neeq2d 2984 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123120, 122imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 2 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
12469, 87, 119, 123ralpr 4374 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125115, 124bitri 264 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126125ralbii 3110 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127108, 126sylibr 224 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042   ∪ cun 3705  {cpr 4315  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121  2c2 11254  3c3 11255  4c4 11256  ..^cfzo 12651  ♯chash 13303  ⟨“cs3 13779  ⟨“cs4 13780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-concat 13479  df-s1 13480  df-s2 13785  df-s3 13786  df-s4 13787 This theorem is referenced by:  3pthd  27318
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