MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3pthd 27152
Description: A path of length 3 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
Assertion
Ref Expression
3pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3pthd
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 s4cli 13673 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
31, 2eqeltri 2726 . . 3 𝑃 ∈ Word V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
5 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
65fveq2i 6232 . . . 4 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
7 s3len 13685 . . . 4 (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
86, 7eqtri 2673 . . 3 (#‘𝐹) = 3
9 4m1e3 11176 . . 3 (4 − 1) = 3
101fveq2i 6232 . . . . 5 (#‘𝑃) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
11 s4len 13690 . . . . 5 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
1210, 11eqtr2i 2674 . . . 4 4 = (#‘𝑃)
1312oveq1i 6700 . . 3 (4 − 1) = ((#‘𝑃) − 1)
148, 9, 133eqtr2i 2679 . 2 (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)
15 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
16 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
171, 5, 15, 163pthdlem1 27142 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
18 eqid 2651 . 2 (#‘𝐹) = (#‘𝐹)
19 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
20 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
231, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 223trld 27150 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
244, 14, 17, 18, 23pthd 26721 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  cmin 10304  3c3 11109  4c4 11110  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs3 13633  ⟨“cs4 13634  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Pathscpths 26664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-s4 13641  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-pths 26668
This theorem is referenced by:  3pthond  27153  3cycld  27156
  Copyright terms: Public domain W3C validator