MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3nn 11378
Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 11272 . 2 3 = (2 + 1)
2 2nn 11377 . . 3 2 ∈ ℕ
3 peano2nn 11224 . . 3 (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (2 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2835 1 3 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-1cn 10186
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272
This theorem is referenced by:  4nn  11379  3nn0  11502  3z  11602  ige3m2fz  12558  f1oun2prg  13862  sqrlem7  14188  bpoly4  14989  fsumcube  14990  ef01bndlem  15113  sin01bnd  15114  egt2lt3  15133  rpnnen2lem2  15143  rpnnen2lem3  15144  rpnnen2lem4  15145  rpnnen2lem9  15150  rpnnen2lem11  15152  3lcm2e6woprm  15530  3lcm2e6  15642  prmo3  15947  5prm  16017  6nprm  16018  7prm  16019  9nprm  16021  11prm  16024  13prm  16025  17prm  16026  19prm  16027  23prm  16028  prmlem2  16029  37prm  16030  43prm  16031  83prm  16032  139prm  16033  163prm  16034  317prm  16035  631prm  16036  1259lem5  16044  2503lem1  16046  2503lem2  16047  2503lem3  16048  4001lem4  16053  4001prm  16054  mulrndx  16198  mulrid  16199  rngstr  16202  ressmulr  16208  unifndx  16266  unifid  16267  lt6abl  18496  sramulr  19382  opsrmulr  19683  cnfldstr  19950  cnfldfun  19960  zlmmulr  20070  znmul  20092  ressunif  22267  tuslem  22272  tngmulr  22649  vitalilem4  23579  tangtx  24456  1cubrlem  24767  1cubr  24768  dcubic1lem  24769  dcubic2  24770  dcubic  24772  mcubic  24773  cubic2  24774  cubic  24775  quartlem3  24785  quart  24787  log2cnv  24870  log2tlbnd  24871  log2ublem1  24872  log2ublem2  24873  log2ub  24875  ppiublem1  25126  ppiub  25128  chtub  25136  bposlem3  25210  bposlem4  25211  bposlem5  25212  bposlem6  25213  bposlem9  25216  lgsdir2lem5  25253  dchrvmasumlem2  25386  dchrvmasumlema  25388  pntibndlem1  25477  pntibndlem2  25479  pntlema  25484  pntlemb  25485  pntleml  25499  tgcgr4  25625  axlowdimlem16  26036  axlowdimlem17  26037  usgrexmpldifpr  26349  upgr3v3e3cycl  27332  ex-cnv  27605  ex-rn  27608  ex-mod  27617  resvmulr  30144  fib4  30775  circlevma  31029  circlemethhgt  31030  hgt750lema  31044  sinccvglem  31873  cnndvlem1  32834  mblfinlem3  33761  itg2addnclem2  33775  itg2addnclem3  33776  itg2addnc  33777  hlhilsmul  37735  rmydioph  38083  rmxdioph  38085  expdiophlem2  38091  expdioph  38092  amgm3d  39004  lhe4.4ex1a  39030  257prm  41983  fmtno4prmfac193  41995  fmtno4nprmfac193  41996  3ndvds4  42020  139prmALT  42021  31prm  42022  127prm  42025  41prothprm  42046  wtgoldbnnsum4prm  42200  bgoldbnnsum3prm  42202  bgoldbtbndlem1  42203  tgoldbach  42215  tgoldbachOLD  42222
  Copyright terms: Public domain W3C validator