MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 15375
Description: The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 15487, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 11133 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 11129 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 10083 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 11448 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 11447 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 15361 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11391 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 708 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 470 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 11151 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2825 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 980 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 15271 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 11074 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 708 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 708 . . . . 5 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 11093 . . . 4 (3 gcd 2) ≠ 0
1815, 17pm3.2i 470 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)
19 3nn 11224 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 2nn 11223 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2119, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 15371 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2322eqcomd 2657 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2421, 23mp1i 13 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
25 divmul3 10728 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
2624, 25mpbird 247 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
2726eqcomd 2657 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) ≠ 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
283, 8, 18, 27mp3an 1464 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
29 gcdcom 15282 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
304, 5, 29mp2an 708 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
31 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
32 gcdid 15295 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
34 abs1 14081 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
3533, 34eqtr2i 2674 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
36 gcdadd 15294 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
3731, 31, 36mp2an 708 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
38 1p1e2 11172 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3938oveq2i 6701 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4035, 37, 393eqtri 2677 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
41 gcdcom 15282 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4231, 5, 41mp2an 708 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
43 gcdadd 15294 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
445, 31, 43mp2an 708 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
4540, 42, 443eqtri 2677 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
46 1p2e3 11190 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
4746oveq2i 6701 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
4845, 47eqtr2i 2674 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
4930, 48eqtri 2673 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5049oveq2i 6701 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
51 3t2e6 11217 . . . 4 (3 · 2) = 6
5251oveq1i 6700 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
53 6cn 11140 . . . 4 6 ∈ ℂ
5453div1i 10791 . . 3 (6 / 1) = 6
5552, 54eqtri 2673 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
5628, 50, 553eqtri 2677 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  6c6 11112  cz 11415  abscabs 14018   gcd cgcd 15263   lcm clcm 15348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-lcm 15350
This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15407
  Copyright terms: Public domain W3C validator