Theorem 3dvdsdecOLD 15102

Description: Obsolete proof of 3dvdsdec 15101 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvdsdecOLD	⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdecOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdecOLD 11533	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2		df-10OLD 11125	. . . . . . 7 ⊢ 10 = (9 + 1)
3	2	oveq1i 6700	. . . . . 6 ⊢ (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
4		9cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
5		ax-1cn 10032	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		3dvdsdec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 11342	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	4, 5, 7	adddiri 10089	. . . . . 6 ⊢ ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
9	7	mulid2i 10081	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
10	9	oveq2i 6701	. . . . . 6 ⊢ ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
11	3, 8, 10	3eqtri 2677	. . . . 5 ⊢ (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
12	11	oveq1i 6700	. . . 4 ⊢ ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
13	4, 7	mulcli 10083	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℂ
14		3dvdsdec.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 11342	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
16	13, 7, 15	addassi 10086	. . . 4 ⊢ (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
17	1, 12, 16	3eqtri 2677	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
18	17	breq2i 4693	. 2 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
19		3z 11448	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
20	6	nn0zi 11440	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
21	14	nn0zi 11440	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
22		zaddcl 11455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
23	20, 21, 22	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
24		9nn 11230	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
25	24	nnzi 11439	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
26		zmulcl 11464	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
27	25, 20, 26	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℤ
28		zmulcl 11464	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
29	19, 20, 28	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℤ
30		dvdsmul1 15050	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
31	19, 29, 30	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
32		3t3e9 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
33	32	eqcomi 2660	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
34	33	oveq1i 6700	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
35		3cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
36	35, 35, 7	mulassi 10087	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
37	34, 36	eqtri 2673	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
38	31, 37	breqtrri 4712	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (9 · 𝐴)
39	27, 38	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
40		dvdsadd2b 15075	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
41	19, 23, 39, 40	mp3an 1464	. 2 ⊢ (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
42	18, 41	bitr4i 267	1 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  3c3 11109  9c9 11115  10c10 11116  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ;cdc 11531   ∥ cdvds 15027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-dvds 15028

This theorem is referenced by: (None)