MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvdsdecOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvdsdecOLD 15102
Description: Obsolete proof of 3dvdsdec 15101 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvdsdecOLD (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdecOLD
StepHypRef Expression
1 dfdecOLD 11533 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 df-10OLD 11125 . . . . . . 7 10 = (9 + 1)
32oveq1i 6700 . . . . . 6 (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
4 9cn 11146 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
5 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6 3dvdsdec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
76nn0cni 11342 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
84, 5, 7adddiri 10089 . . . . . 6 ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
97mulid2i 10081 . . . . . . 7 (1 · 𝐴) = 𝐴
109oveq2i 6701 . . . . . 6 ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
113, 8, 103eqtri 2677 . . . . 5 (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
1211oveq1i 6700 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
134, 7mulcli 10083 . . . . 5 (9 · 𝐴) ∈ ℂ
14 3dvdsdec.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11342 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
1613, 7, 15addassi 10086 . . . 4 (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
171, 12, 163eqtri 2677 . . 3 𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
1817breq2i 4693 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
19 3z 11448 . . 3 3 ∈ ℤ
206nn0zi 11440 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
2114nn0zi 11440 . . . 4 𝐵 ∈ ℤ
22 zaddcl 11455 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
2320, 21, 22mp2an 708 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
24 9nn 11230 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
2524nnzi 11439 . . . . 5 9 ∈ ℤ
26 zmulcl 11464 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
2725, 20, 26mp2an 708 . . . 4 (9 · 𝐴) ∈ ℤ
28 zmulcl 11464 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
2919, 20, 28mp2an 708 . . . . . 6 (3 · 𝐴) ∈ ℤ
30 dvdsmul1 15050 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
3119, 29, 30mp2an 708 . . . . 5 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
32 3t3e9 11218 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
3332eqcomi 2660 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
3433oveq1i 6700 . . . . . 6 (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
35 3cn 11133 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3635, 35, 7mulassi 10087 . . . . . 6 ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3734, 36eqtri 2673 . . . . 5 (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3831, 37breqtrri 4712 . . . 4 3 ∥ (9 · 𝐴)
3927, 38pm3.2i 470 . . 3 ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
40 dvdsadd2b 15075 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
4119, 23, 39, 40mp3an 1464 . 2 (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
4218, 41bitr4i 267 1 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  3c3 11109  9c9 11115  10c10 11116  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-dvds 15028
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator