Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvdsdec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvdsdec 15248
 Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g. 𝐴 = ;𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvdsdec (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 11681 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 9p1e10 11680 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
32eqcomi 2761 . . . . . . 7 10 = (9 + 1)
43oveq1i 6815 . . . . . 6 (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5 9cn 11292 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6 ax-1cn 10178 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 3dvdsdec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 11488 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
95, 6, 8adddiri 10235 . . . . . 6 ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
108mulid2i 10227 . . . . . . 7 (1 · 𝐴) = 𝐴
1110oveq2i 6816 . . . . . 6 ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
124, 9, 113eqtri 2778 . . . . 5 (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
1312oveq1i 6815 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
145, 8mulcli 10229 . . . . 5 (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15 3dvdsdec.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
1615nn0cni 11488 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
1714, 8, 16addassi 10232 . . . 4 (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
181, 13, 173eqtri 2778 . . 3 𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
1918breq2i 4804 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20 3z 11594 . . 3 3 ∈ ℤ
217nn0zi 11586 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
2215nn0zi 11586 . . . 4 𝐵 ∈ ℤ
23 zaddcl 11601 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
2421, 22, 23mp2an 710 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25 9nn 11376 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
2625nnzi 11585 . . . . 5 9 ∈ ℤ
27 zmulcl 11610 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
2826, 21, 27mp2an 710 . . . 4 (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29 zmulcl 11610 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
3020, 21, 29mp2an 710 . . . . . 6 (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31 dvdsmul1 15197 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
3220, 30, 31mp2an 710 . . . . 5 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33 3t3e9 11364 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2761 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 6815 . . . . . 6 (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36 3cn 11279 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3736, 36, 8mulassi 10233 . . . . . 6 ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3835, 37eqtri 2774 . . . . 5 (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3932, 38breqtrri 4823 . . . 4 3 ∥ (9 · 𝐴)
4028, 39pm3.2i 470 . . 3 ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41 dvdsadd2b 15222 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
4220, 24, 40, 41mp3an 1565 . 2 (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
4319, 42bitr4i 267 1 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  3c3 11255  9c9 11261  ℕ0cn0 11476  ℤcz 11561  ;cdc 11677   ∥ cdvds 15174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-dvds 15175 This theorem is referenced by:  257prm  41975  139prmALT  42013  31prm  42014
 Copyright terms: Public domain W3C validator