MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvdsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvdsOLD 15255
Description: Obsolete version of 3dvds 15254 as of 8-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3dvdsOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvdsOLD
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 11602 . . 3 3 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3 fzfid 12966 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 ffvelrn 6520 . . . . 5 ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
54adantll 752 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
6 10nnOLD 11385 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
76nnzi 11593 . . . . 5 10 ∈ ℤ
8 elfznn0 12626 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
98adantl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 zexpcl 13069 . . . . 5 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
117, 9, 10sylancr 698 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
125, 11zmulcld 11680 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
133, 12fsumzcl 14665 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
143, 5fsumzcl 14665 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1512, 5zsubcld 11679 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
16 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
176nncni 11222 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℂ
1816, 17negsubdi2i 10559 . . . . . . . . . . 11 -(1 − 10) = (10 − 1)
19 df-10OLD 11279 . . . . . . . . . . . 12 10 = (9 + 1)
2019oveq1i 6823 . . . . . . . . . . 11 (10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
21 9cn 11300 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
2221, 16pncan3oi 10489 . . . . . . . . . . 11 ((9 + 1) − 1) = 9
2318, 20, 223eqtri 2786 . . . . . . . . . 10 -(1 − 10) = 9
24 3t3e9 11372 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
2523, 24eqtr4i 2785 . . . . . . . . 9 -(1 − 10) = (3 · 3)
2617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 10 ∈ ℂ)
27 1re 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
28 1lt10OLD 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 10
2927, 28gtneii 10341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ≠ 1
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 10 ≠ 1)
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
3226, 30, 31geoser 14798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) = ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)))
33 fzfid 12966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
34 elfznn0 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
36 zexpcl 13069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
377, 35, 36sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
3833, 37fsumzcl 14665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) ∈ ℤ)
3932, 38eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ)
40 1z 11599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
41 zsubcl 11611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ) → (1 − 10) ∈ ℤ)
4240, 7, 41mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 10) ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∈ ℤ)
4427, 28ltneii 10342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 10
4516, 17subeq0i 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 10) = 0 ↔ 1 = 10)
4645necon3bii 2984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 10)
4744, 46mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 10) ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ≠ 0)
497, 31, 10sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
50 zsubcl 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
5140, 49, 50sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
52 dvdsval2 15185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ (1 − 10) ≠ 0 ∧ (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5343, 48, 51, 52syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5439, 53mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)))
5549zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
56 negsubdi2 10532 . . . . . . . . . . . . 13 (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5755, 16, 56sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5854, 57breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1))
59 peano2zm 11612 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑𝑘) ∈ ℤ → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
6049, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
61 dvdsnegb 15201 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6242, 60, 61sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6358, 62mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
64 negdvdsb 15200 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6542, 60, 64sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6663, 65mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
6725, 66syl5eqbrr 4840 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
681a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
69 muldvds1 15208 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
7068, 68, 60, 69syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
7167, 70mpd 15 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
729, 71syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
731a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∈ ℤ)
7411, 59syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
75 dvdsmultr2 15223 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
7673, 5, 74, 75syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
7772, 76mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)))
785zcnd 11675 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7911zcnd 11675 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
8016a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
8178, 79, 80subdid 10678 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − ((𝐹𝑘) · 1)))
8278mulid1d 10249 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · 1) = (𝐹𝑘))
8382oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − ((𝐹𝑘) · 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8481, 83eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8577, 84breqtrd 4830 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
863, 2, 15, 85fsumdvds 15232 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8712zcnd 11675 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℂ)
883, 87, 78fsumsub 14719 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
8986, 88breqtrd 4830 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
90 dvdssub2 15225 . 2 (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
912, 13, 14, 89, 90syl31anc 1480 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  3c3 11263  9c9 11269  10c10 11270  0cn0 11484  cz 11569  ...cfz 12519  cexp 13054  Σcsu 14615  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-10OLD 11279  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator