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Theorem 3dvds2decOLD 15104
Description: Old version of 3dvds2dec 15103. Obsolete as of 1-Aug-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
3dvds2dec.c 𝐶 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvds2decOLD (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem 3dvds2decOLD
StepHypRef Expression
1 3dvdsdec.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 3dvdsdec.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 23decOLD 13093 . . . 4 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
4 sq10e99m1OLD 13092 . . . . . . . 8 (10↑2) = (99 + 1)
54oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 + 1) · 𝐴)
6 9nn0 11354 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11550 . . . . . . . . 9 99 ∈ ℕ0
87nn0cni 11342 . . . . . . . 8 99 ∈ ℂ
9 ax-1cn 10032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
101nn0cni 11342 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
118, 9, 10adddiri 10089 . . . . . . 7 ((99 + 1) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
1210mulid2i 10081 . . . . . . . 8 (1 · 𝐴) = 𝐴
1312oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
145, 11, 133eqtri 2677 . . . . . 6 ((10↑2) · 𝐴) = ((99 · 𝐴) + 𝐴)
15 df-10OLD 11125 . . . . . . . 8 10 = (9 + 1)
1615oveq1i 6700 . . . . . . 7 (10 · 𝐵) = ((9 + 1) · 𝐵)
17 9cn 11146 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
182nn0cni 11342 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℂ
1917, 9, 18adddiri 10089 . . . . . . 7 ((9 + 1) · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵))
2018mulid2i 10081 . . . . . . . 8 (1 · 𝐵) = 𝐵
2120oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((9 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2216, 19, 213eqtri 2677 . . . . . 6 (10 · 𝐵) = ((9 · 𝐵) + 𝐵)
2314, 22oveq12i 6702 . . . . 5 (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵))
2423oveq1i 6700 . . . 4 ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶)
258, 10mulcli 10083 . . . . . 6 (99 · 𝐴) ∈ ℂ
2617, 18mulcli 10083 . . . . . 6 (9 · 𝐵) ∈ ℂ
27 add4 10294 . . . . . . 7 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)))
2827oveq1d 6705 . . . . . 6 ((((99 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((9 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶))
2925, 10, 26, 18, 28mp4an 709 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶)
3025, 26addcli 10082 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) ∈ ℂ
3110, 18addcli 10082 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
32 3dvds2dec.c . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
3332nn0cni 11342 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
3430, 31, 33addassi 10086 . . . . 5 ((((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) + 𝐶) = (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
35 9t11e99 11709 . . . . . . . . . . 11 (9 · 11) = 99
3635eqcomi 2660 . . . . . . . . . 10 99 = (9 · 11)
3736oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 (99 · 𝐴) = ((9 · 11) · 𝐴)
38 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3938, 38deccl 11550 . . . . . . . . . . 11 11 ∈ ℕ0
4039nn0cni 11342 . . . . . . . . . 10 11 ∈ ℂ
4117, 40, 10mulassi 10087 . . . . . . . . 9 ((9 · 11) · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4237, 41eqtri 2673 . . . . . . . 8 (99 · 𝐴) = (9 · (11 · 𝐴))
4342oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4440, 10mulcli 10083 . . . . . . . . 9 (11 · 𝐴) ∈ ℂ
4517, 44, 18adddii 10088 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵))
4645eqcomi 2660 . . . . . . 7 ((9 · (11 · 𝐴)) + (9 · 𝐵)) = (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
47 3t3e9 11218 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
4847eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 9 = (3 · 3)
4948oveq1i 6700 . . . . . . . 8 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵))
50 3cn 11133 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5144, 18addcli 10082 . . . . . . . . 9 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℂ
5250, 50, 51mulassi 10087 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5349, 52eqtri 2673 . . . . . . 7 (9 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5443, 46, 533eqtri 2677 . . . . . 6 ((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) = (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
5554oveq1i 6700 . . . . 5 (((99 · 𝐴) + (9 · 𝐵)) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5629, 34, 553eqtri 2677 . . . 4 ((((99 · 𝐴) + 𝐴) + ((9 · 𝐵) + 𝐵)) + 𝐶) = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
573, 24, 563eqtri 2677 . . 3 𝐴𝐵𝐶 = ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
5857breq2i 4693 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
59 3z 11448 . . 3 3 ∈ ℤ
601nn0zi 11440 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
612nn0zi 11440 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
62 zaddcl 11455 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
6360, 61, 62mp2an 708 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
6432nn0zi 11440 . . . 4 𝐶 ∈ ℤ
65 zaddcl 11455 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ)
6663, 64, 65mp2an 708 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ
6739nn0zi 11440 . . . . . . . 8 11 ∈ ℤ
68 zmulcl 11464 . . . . . . . 8 ((11 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (11 · 𝐴) ∈ ℤ)
6967, 60, 68mp2an 708 . . . . . . 7 (11 · 𝐴) ∈ ℤ
70 zaddcl 11455 . . . . . . 7 (((11 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ)
7169, 61, 70mp2an 708 . . . . . 6 ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ
72 zmulcl 11464 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ ((11 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℤ) → (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ)
7359, 71, 72mp2an 708 . . . . 5 (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ
74 zmulcl 11464 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ)
7559, 73, 74mp2an 708 . . . 4 (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ
76 dvdsmul1 15050 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
7759, 73, 76mp2an 708 . . . 4 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵)))
7875, 77pm3.2i 470 . . 3 ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))
79 dvdsadd2b 15075 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))))) → (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))))
8059, 66, 78, 79mp3an 1464 . 2 (3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ↔ 3 ∥ ((3 · (3 · ((11 · 𝐴) + 𝐵))) + ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)))
8158, 80bitr4i 267 1 (3 ∥ 𝐴𝐵𝐶 ↔ 3 ∥ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  2c2 11108  3c3 11109  9c9 11115  10c10 11116  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  cexp 12900  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-10OLD 11125  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dvds 15028
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