Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem3 35269
Description: Lemma for 3dim1 35275. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))

Proof of Theorem 3dimlem3
StepHypRef Expression
1 simpr1 1234 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃𝑄)
2 simpr2 1236 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
3 simpl11 1315 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl2l 1283 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
5 simpl12 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃𝐴)
6 simpl13 1319 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑄𝐴)
7 simpl3l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑄𝑅)
87necomd 2988 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝑄)
9 3dim0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 3dim0.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 3dim0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11hlatexch2 35204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑅𝑄) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
133, 4, 5, 6, 8, 12syl131anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1410, 11hlatjcom 35176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
153, 6, 4, 14syl3anc 1477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
1615breq2d 4817 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1713, 16sylibrd 249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑄 𝑅)))
182, 17mtod 189 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
19 simpl1 1228 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
20 simpl2 1230 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
21 simpl3r 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
22 simpr3 1238 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2310, 9, 113dimlem3a 35268 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2419, 20, 21, 2, 22, 23syl113anc 1489 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
251, 18, 243jca 1123 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  lecple 16171  joincjn 17166  Atomscatm 35072  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-lat 17268  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160
This theorem is referenced by:  3dim1  35275  3dim2  35276
  Copyright terms: Public domain W3C validator