Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem2 35266
 Description: Lemma for 3dim1 35274. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))

Proof of Theorem 3dimlem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1244 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝑄)
2 simp22 1250 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
3 3dim0.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjcom 35175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
653ad2ant1 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
7 simp3r 1245 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃 (𝑄 𝑅))
8 simp11 1246 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp12 1247 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐴)
10 simp21 1249 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
11 simp13 1248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
12 3dim0.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
1312, 3, 4hlatexchb1 35200 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
148, 9, 10, 11, 1, 13syl131anc 1490 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
157, 14mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅))
166, 15eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑅))
1716breq2d 4816 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
182, 17mtbird 314 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
19 simp23 1251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2016oveq1d 6829 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2120breq2d 4816 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆) ↔ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
2219, 21mtbird 314 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
231, 18, 223jca 1123 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  lecple 16170  joincjn 17165  Atomscatm 35071  HLchlt 35158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159 This theorem is referenced by:  3dim1  35274  3dim2  35275
 Copyright terms: Public domain W3C validator