Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem2 35266
Description: Lemma for 3dim1 35274. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))

Proof of Theorem 3dimlem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1244 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝑄)
2 simp22 1250 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
3 3dim0.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjcom 35175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
653ad2ant1 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
7 simp3r 1245 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃 (𝑄 𝑅))
8 simp11 1246 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp12 1247 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐴)
10 simp21 1249 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
11 simp13 1248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
12 3dim0.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
1312, 3, 4hlatexchb1 35200 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
148, 9, 10, 11, 1, 13syl131anc 1490 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
157, 14mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅))
166, 15eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑅))
1716breq2d 4816 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
182, 17mtbird 314 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
19 simp23 1251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2016oveq1d 6829 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2120breq2d 4816 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆) ↔ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
2219, 21mtbird 314 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
231, 18, 223jca 1123 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  lecple 16170  joincjn 17165  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159
This theorem is referenced by:  3dim1  35274  3dim2  35275
  Copyright terms: Public domain W3C validator