Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim3 35258
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim2 35257 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
543adant3r1 1198 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
6 simpl2l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
7 simp3l 1244 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
8 simp1l 1240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1355 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
101, 3hlatjidm 35158 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑄 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1312breq2d 4816 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
147, 13mtbird 314 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅))
15 oveq1 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
1615oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑄 𝑄) 𝑅))
1716breq2d 4816 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1817notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1918biimparc 505 . . . . . . 7 ((¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2014, 19sylan 489 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
21 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 307 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2322rspcev 3449 . . . . . 6 ((𝑣𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 696 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
25 simp2l 1242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
2625ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑣𝐴)
277ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
281, 3hlatjass 35159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
29283ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
3029ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
31 hllat 35153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
328, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ Lat)
33 simp1r1 1354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃𝐴)
34 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3534, 3atbase 35079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
37 simp1r3 1356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑅𝐴)
3834, 1, 3hlatjcl 35156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
398, 9, 37, 38syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4032, 36, 393jca 1123 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4234, 2, 1latleeqj1 17264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4443biimpa 502 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅))
4530, 44eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
4645breq2d 4816 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
4727, 46mtbird 314 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
4826, 47, 23syl2anc 696 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
49 simpl2r 1285 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑤𝐴)
5049ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑤𝐴)
518, 33, 93jca 1123 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5251ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5337, 25jca 555 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
5453ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
55 simpl3r 1289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
5655ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
57 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
58 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
591, 2, 33dimlem3a 35249 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6052, 54, 56, 57, 58, 59syl113anc 1489 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
61 breq1 4807 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6261notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6362rspcev 3449 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6450, 60, 63syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
65 simpl2l 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑣𝐴)
6665ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑣𝐴)
6751ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
6853ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
69 simpl3l 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
7069ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
71 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
72 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
731, 2, 33dimlem4a 35252 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7467, 68, 70, 71, 72, 73syl113anc 1489 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7566, 74, 23syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7664, 75pm2.61dan 867 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7748, 76pm2.61dan 867 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7824, 77pm2.61dane 3019 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
79783exp 1113 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
8079rexlimdvv 3175 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
815, 80mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  Atomscatm 35053  HLchlt 35140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141
This theorem is referenced by:  lvolex3N  35327  dalem18  35470  dvh4dimat  37229
  Copyright terms: Public domain W3C validator