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Theorem 3dim0 35264
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 eqid 2760 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3athgt 35263 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5 df-3an 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
6 simpll1 1255 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
87, 1, 3hlatjcl 35174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
98ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 = (le‘𝐾)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 35217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
1413anbi2d 742 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟))))
15 hllat 35171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
177, 3atbase 35097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1817ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
197, 1latjcl 17272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
2016, 9, 18, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
227, 11, 1, 2, 3cvr1 35217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
236, 20, 21, 22syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
2414, 23anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
255, 24syl5bb 272 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2625rexbidva 3187 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
27 r19.42v 3230 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
28 anass 684 . . . . . . . . 9 (((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2927, 28bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
3026, 29syl6bb 276 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3130rexbidva 3187 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
32 r19.42v 3230 . . . . . 6 (∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
3331, 32syl6bb 276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
341, 2, 3atcvr1 35224 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞)))
3534anbi1d 743 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3633, 35bitrd 268 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
37363expb 1114 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
38372rexbidva 3194 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
394, 38mpbird 247 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  joincjn 17165  Latclat 17266  ccvr 35070  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159
This theorem is referenced by:  3dim1  35274
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