MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrrn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgrrn1 27265
Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3cyclfrgrrn1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrrn1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑐   𝐸,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑏,𝑐)   𝐺(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn1
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑧 𝑦 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgrrn1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 3cyclfrgrrn1.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 22pthfrgrrn2 27263 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)))
4 necom 2876 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
5 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐶𝑉𝐶𝐴))
65simplbi2com 656 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐴 → (𝐶𝑉𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
74, 6sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶 → (𝐶𝑉𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑉 → (𝐴𝐶𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
109imp 444 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))
11 sneq 4220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → {𝑎} = {𝐴})
1211difeq2d 3761 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = (𝑉 ∖ {𝐴}))
13 preq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝐴 → {𝑎, 𝑥} = {𝐴, 𝑥})
1413eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
1514anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
16 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑥𝐴𝑥))
1716anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎𝑥𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝑧)))
1815, 17anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → ((({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) ↔ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
1918rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) ↔ ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
2012, 19raleqbidv 3182 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
2120rspcv 3336 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
2221ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧))))
23 preq2 4301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → {𝑥, 𝑧} = {𝑥, 𝐶})
2423eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸))
2524anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐶 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸)))
26 neeq2 2886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → (𝑥𝑧𝑥𝐶))
2726anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝑥𝑥𝑧) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐶)))
2825, 27anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐶 → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧)) ↔ (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
2928rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧)) ↔ ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
3029rspcv 3336 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → (∀𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝑧)) → ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
3110, 22, 30sylsyld 61 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → ∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶))))
321, 22pthfrgrrn 27262 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸))
33 necom 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴𝑥𝑥𝐴)
34 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥𝑉𝑥𝐴))
3534simplbi2com 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
3633, 35sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑥 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴𝑥𝐴𝑉) → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})))
3837imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}))
39 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝐴 → {𝑢} = {𝐴})
4039difeq2d 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝐴 → (𝑉 ∖ {𝑢}) = (𝑉 ∖ {𝐴}))
41 preq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝐴 → {𝑢, 𝑦} = {𝐴, 𝑦})
4241eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 = 𝐴 → ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸))
4342anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝐴 → (({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4443rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝐴 → (∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4540, 44raleqbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝐴 → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4645rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴𝑥𝐴𝑉) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸)))
49 preq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑥 → {𝑦, 𝑣} = {𝑦, 𝑥})
5049eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = 𝑥 → ({𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
5150anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = 𝑥 → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
5251rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
5352rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴}) → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
5438, 48, 53sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
55 prcom 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝐴, 𝑦} = {𝑦, 𝐴}
5655eleq1i 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)
57 prcom 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑦, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}
5857eleq1i 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
5956, 58anbi12ci 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸))
60 preq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑏 = 𝑥 → {𝐴, 𝑏} = {𝐴, 𝑥})
6160eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 = 𝑥 → ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
62 preq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑏 = 𝑥 → {𝑏, 𝑐} = {𝑥, 𝑐})
6362eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 = 𝑥 → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸))
64 biidd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑏 = 𝑥 → ({𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
6561, 63, 643anbi123d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 = 𝑥 → (({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))
66 biidd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑦 → ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸))
67 preq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑦 → {𝑥, 𝑐} = {𝑥, 𝑦})
6867eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑦 → ({𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
69 preq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑦 → {𝑐, 𝐴} = {𝑦, 𝐴})
7069eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑦 → ({𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸))
7166, 68, 703anbi123d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 = 𝑦 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)))
7265, 71rspc2ev 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥𝑉𝑦𝑉 ∧ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
73723expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
7473expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))
75743expib 1287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7659, 75syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7877com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → (({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
7978rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑉 → (∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
8079com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∃𝑦𝑉 ({𝐴, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
8154, 80syl9 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑥𝐴𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
8281exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝑥 → (𝐴𝑉 → (𝑥𝑉 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
8382com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥 → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑥𝑥𝐶) → (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))))
8584impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))))
8685com15 101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑉 → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))))
8786pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑉 → (𝐴𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
8887com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝑥𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
8988ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝑥𝑉 → (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9089com4t 93 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑉𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑢})∃𝑦𝑉 ({𝑢, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑣} ∈ 𝐸) → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9132, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝑥𝑉 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9291com14 96 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → ((({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9392rexlimiv 3056 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑉 (({𝐴, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐶)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
9431, 93syl6 35 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9594pm2.43a 54 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
9695ex 449 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶 → (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
9796com4t 93 . . 3 (∀𝑎𝑉𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑥𝑉 (({𝑎, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑥𝑥𝑧)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸)))))
983, 97mpcom 38 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝐶 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))))
99983imp 1275 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐴𝐶) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝐴} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984   FriendGraph cfrgr 27236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-umgr 26023  df-usgr 26091  df-frgr 27237
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrrn  27266
  Copyright terms: Public domain W3C validator