MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgr 27413
Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
3cyclfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgr ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 3cyclfrgr
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2748 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 23cyclfrgrrn 27411 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 frgrusgr 27385 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5 usgrumgr 26244 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
76ad4antr 771 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐺 ∈ UMGraph)
8 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
98anim1i 593 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑣𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
10 3anass 1081 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
119, 10sylibr 224 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉))
1211adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉))
13 simpr 479 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
141, 2umgr3cyclex 27306 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
157, 12, 13, 14syl3anc 1463 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
1615ex 449 . . . 4 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
1716rexlimdvva 3164 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
1817ralimdva 3088 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∀𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
193, 18mpd 15 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wex 1841  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  {cpr 4311   class class class wbr 4792  cfv 6037  0cc0 10099  1c1 10100   < clt 10237  3c3 11234  chash 13282  Vtxcvtx 26044  Edgcedg 26109  UMGraphcumgr 26146  USGraphcusgr 26214  Cyclesccycls 26862   FriendGraph cfrgr 27381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-hash 13283  df-word 13456  df-concat 13458  df-s1 13459  df-s2 13764  df-s3 13765  df-s4 13766  df-edg 26110  df-uhgr 26123  df-upgr 26147  df-umgr 26148  df-usgr 26216  df-wlks 26676  df-trls 26770  df-pths 26793  df-cycls 26864  df-frgr 27382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator