MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  37prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 37prm 16034
Description: 37 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
37prm 37 ∈ ℙ

Proof of Theorem 37prm
StepHypRef Expression
1 3nn0 11511 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 7nn 11391 . . 3 7 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11719 . 2 37 ∈ ℕ
4 8nn0 11516 . . . 4 8 ∈ ℕ0
5 4nn0 11512 . . . 4 4 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11713 . . 3 84 ∈ ℕ0
7 7nn0 11515 . . 3 7 ∈ ℕ0
8 1nn0 11509 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 7lt10 11875 . . 3 7 < 10
10 8nn 11392 . . . 4 8 ∈ ℕ
11 3lt10 11879 . . . 4 3 < 10
1210, 5, 1, 11declti 11747 . . 3 3 < 84
131, 6, 7, 8, 9, 12decltc 11733 . 2 37 < 841
14 3nn 11387 . . 3 3 ∈ ℕ
15 1lt10 11881 . . 3 1 < 10
1614, 7, 8, 15declti 11747 . 2 1 < 37
17 3t2e6 11380 . . 3 (3 · 2) = 6
18 df-7 11285 . . 3 7 = (6 + 1)
191, 1, 17, 18dec2dvds 15973 . 2 ¬ 2 ∥ 37
20 2nn0 11510 . . . 4 2 ∈ ℕ0
218, 20deccl 11713 . . 3 12 ∈ ℕ0
22 1nn 11232 . . 3 1 ∈ ℕ
23 6nn0 11514 . . . 4 6 ∈ ℕ0
24 6p1e7 11357 . . . 4 (6 + 1) = 7
25 eqid 2770 . . . . 5 12 = 12
26 0nn0 11508 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
27 3cn 11296 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
2827mulid1i 10243 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
2928oveq1i 6802 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
3027addid1i 10424 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3129, 30eqtri 2792 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 3
3223dec0h 11723 . . . . . 6 6 = 06
3317, 32eqtri 2792 . . . . 5 (3 · 2) = 06
341, 8, 20, 25, 23, 26, 31, 33decmul2c 11789 . . . 4 (3 · 12) = 36
351, 23, 24, 34decsuc 11736 . . 3 ((3 · 12) + 1) = 37
36 1lt3 11397 . . 3 1 < 3
3714, 21, 22, 35, 36ndvdsi 15343 . 2 ¬ 3 ∥ 37
38 2nn 11386 . . 3 2 ∈ ℕ
39 2lt5 11403 . . 3 2 < 5
40 5p2e7 11366 . . 3 (5 + 2) = 7
411, 38, 39, 40dec5dvds2 15975 . 2 ¬ 5 ∥ 37
42 5nn0 11513 . . 3 5 ∈ ℕ0
43 7t5e35 11851 . . . 4 (7 · 5) = 35
441, 42, 20, 43, 40decaddi 11779 . . 3 ((7 · 5) + 2) = 37
45 2lt7 11414 . . 3 2 < 7
462, 42, 38, 44, 45ndvdsi 15343 . 2 ¬ 7 ∥ 37
478, 22decnncl 11719 . . 3 11 ∈ ℕ
48 4nn 11388 . . 3 4 ∈ ℕ
49 eqid 2770 . . . 4 11 = 11
5027mulid2i 10244 . . . 4 (1 · 3) = 3
5150oveq1i 6802 . . . . 5 ((1 · 3) + 4) = (3 + 4)
5248nncni 11231 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
53 4p3e7 11364 . . . . . 6 (4 + 3) = 7
5452, 27, 53addcomli 10429 . . . . 5 (3 + 4) = 7
5551, 54eqtri 2792 . . . 4 ((1 · 3) + 4) = 7
568, 8, 5, 49, 1, 50, 55decrmanc 11776 . . 3 ((11 · 3) + 4) = 37
57 4lt10 11878 . . . 4 4 < 10
5822, 8, 5, 57declti 11747 . . 3 4 < 11
5947, 1, 48, 56, 58ndvdsi 15343 . 2 ¬ 11 ∥ 37
608, 14decnncl 11719 . . 3 13 ∈ ℕ
61 eqid 2770 . . . . 5 13 = 13
62 2cn 11292 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
6362mulid2i 10244 . . . . 5 (1 · 2) = 2
6420, 8, 1, 61, 23, 63, 17decmul1 11785 . . . 4 (13 · 2) = 26
65 2p1e3 11352 . . . 4 (2 + 1) = 3
6620, 23, 8, 8, 64, 49, 65, 24decadd 11770 . . 3 ((13 · 2) + 11) = 37
678, 8, 14, 36declt 11731 . . 3 11 < 13
6860, 20, 47, 66, 67ndvdsi 15343 . 2 ¬ 13 ∥ 37
698, 2decnncl 11719 . . 3 17 ∈ ℕ
70 eqid 2770 . . . 4 17 = 17
711dec0h 11723 . . . 4 3 = 03
72 0p1e1 11333 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7363, 72oveq12i 6804 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
7473, 65eqtri 2792 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
75 7t2e14 11848 . . . . 5 (7 · 2) = 14
768, 5, 1, 75, 53decaddi 11779 . . . 4 ((7 · 2) + 3) = 17
778, 7, 26, 1, 70, 71, 20, 7, 8, 74, 76decmac 11766 . . 3 ((17 · 2) + 3) = 37
7822, 7, 1, 11declti 11747 . . 3 3 < 17
7969, 20, 14, 77, 78ndvdsi 15343 . 2 ¬ 17 ∥ 37
80 9nn 11393 . . . 4 9 ∈ ℕ
818, 80decnncl 11719 . . 3 19 ∈ ℕ
828, 10decnncl 11719 . . 3 18 ∈ ℕ
83 9nn0 11517 . . . 4 9 ∈ ℕ0
8481nncni 11231 . . . . 5 19 ∈ ℂ
8584mulid1i 10243 . . . 4 (19 · 1) = 19
86 eqid 2770 . . . 4 18 = 18
87 1p1e2 11335 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
8887oveq1i 6802 . . . . 5 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
8988, 65eqtri 2792 . . . 4 ((1 + 1) + 1) = 3
90 9p8e17 11826 . . . 4 (9 + 8) = 17
918, 83, 8, 4, 85, 86, 89, 7, 90decaddc 11772 . . 3 ((19 · 1) + 18) = 37
92 8lt9 11423 . . . 4 8 < 9
938, 4, 80, 92declt 11731 . . 3 18 < 19
9481, 8, 82, 91, 93ndvdsi 15343 . 2 ¬ 19 ∥ 37
9520, 14decnncl 11719 . . 3 23 ∈ ℕ
968, 48decnncl 11719 . . 3 14 ∈ ℕ
9795nncni 11231 . . . . 5 23 ∈ ℂ
9897mulid1i 10243 . . . 4 (23 · 1) = 23
99 eqid 2770 . . . 4 14 = 14
10020, 1, 8, 5, 98, 99, 65, 54decadd 11770 . . 3 ((23 · 1) + 14) = 37
101 1lt2 11395 . . . 4 1 < 2
1028, 20, 5, 1, 57, 101decltc 11733 . . 3 14 < 23
10395, 8, 96, 100, 102ndvdsi 15343 . 2 ¬ 23 ∥ 37
1043, 13, 16, 19, 37, 41, 46, 59, 68, 79, 94, 103prmlem2 16033 1 37 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2144  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  7c7 11276  8c8 11277  9c9 11278  cdc 11694  cprime 15591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592
This theorem is referenced by:  1259prm  16049
  Copyright terms: Public domain W3C validator