Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  31prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 31prm 42040
Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 16035, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 16034, but on isprm7 15627. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 16035 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 16035). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 16035). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
31prm 31 ∈ ℙ

Proof of Theorem 31prm
StepHypRef Expression
1 2z 11611 . . 3 2 ∈ ℤ
2 3nn0 11512 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
3 1nn0 11510 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11714 . . . 4 31 ∈ ℕ0
54nn0zi 11604 . . 3 31 ∈ ℤ
6 3nn 11388 . . . 4 3 ∈ ℕ
7 2nn0 11511 . . . 4 2 ∈ ℕ0
8 2re 11292 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 9re 11309 . . . . 5 9 ∈ ℝ
10 2lt9 11430 . . . . 5 2 < 9
118, 9, 10ltleii 10362 . . . 4 2 ≤ 9
126, 3, 7, 11declei 11744 . . 3 2 ≤ 31
13 eluz2 11894 . . 3 (31 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 31 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 31))
141, 5, 12, 13mpbir3an 1426 . 2 31 ∈ (ℤ‘2)
15 elun 3904 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) ↔ (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)))
16 elin 3947 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
17 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑛 ∈ V
1817elpr 4338 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {2, 3} ↔ (𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3))
19 0nn0 11509 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
20 2cn 11293 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2120mul02i 10427 . . . . . . . . . . . . 13 (0 · 2) = 0
22 1e0p1 11754 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
232, 19, 21, 22dec2dvds 15974 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 31
24 breq1 4789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 2 → (𝑛31 ↔ 2 ∥ 31))
2523, 24mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 2 → ¬ 𝑛31)
26 3ndvds4 42038 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 3 ∥ 4
272, 33dvdsdec 15263 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ (3 + 1))
28 3p1e4 11355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
2928breq2i 4794 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∥ (3 + 1) ↔ 3 ∥ 4)
3027, 29bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∥ 31 ↔ 3 ∥ 4)
3126, 30mtbir 312 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 31
32 breq1 4789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 3 → (𝑛31 ↔ 3 ∥ 31))
3331, 32mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 3 → ¬ 𝑛31)
3425, 33jaoi 846 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 2 ∨ 𝑛 = 3) → ¬ 𝑛31)
3518, 34sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {2, 3} → ¬ 𝑛31)
3635adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {2, 3} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
3716, 36sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
38 elin 3947 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) ↔ (𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ))
3917elpr 4338 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {4, 5} ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5))
40 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
41 4nprm 15614 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 4 ∈ ℙ
4241pm2.21i 117 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31)
4340, 42syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 4 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
44 1nn 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
45 1lt5 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
462, 44, 45dec5dvds 15975 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 5 ∥ 31
47 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → (𝑛31 ↔ 5 ∥ 31))
4846, 47mtbiri 316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ¬ 𝑛31)
4948a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5043, 49jaoi 846 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 5) → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5139, 50sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {4, 5} → (𝑛 ∈ ℙ → ¬ 𝑛31))
5251imp 393 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ {4, 5} ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5338, 52sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
5437, 53jaoi 846 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ({2, 3} ∩ ℙ) ∨ 𝑛 ∈ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
5515, 54sylbi 207 . . . . 5 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ)) → ¬ 𝑛31)
56 indir 4024 . . . . 5 (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∩ ℙ) ∪ ({4, 5} ∩ ℙ))
5755, 56eleq2s 2868 . . . 4 (𝑛 ∈ (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
58 5nn0 11514 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
59 5re 11301 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
60 5lt9 11427 . . . . . . . . . 10 5 < 9
6159, 9, 60ltleii 10362 . . . . . . . . 9 5 ≤ 9
62 2lt3 11397 . . . . . . . . 9 2 < 3
637, 2, 58, 3, 61, 62decleh 11743 . . . . . . . 8 25 ≤ 31
64 6nn 11391 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 1lt6 11410 . . . . . . . . 9 1 < 6
662, 3, 64, 65declt 11732 . . . . . . . 8 31 < 36
674nn0rei 11505 . . . . . . . . . 10 31 ∈ ℝ
68 0re 10242 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
69 9pos 11324 . . . . . . . . . . . 12 0 < 9
7068, 9, 69ltleii 10362 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
716, 3, 19, 70declei 11744 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 31
7267, 71pm3.2i 447 . . . . . . . . 9 (31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31)
73 flsqrt5 42037 . . . . . . . . . 10 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((25 ≤ 31 ∧ 31 < 36) ↔ (⌊‘(√‘31)) = 5))
7473bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((31 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 31) → ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36)))
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((⌊‘(√‘31)) = 5 ↔ (25 ≤ 31 ∧ 31 < 36))
7663, 66, 75mpbir2an 690 . . . . . . 7 (⌊‘(√‘31)) = 5
7776oveq2i 6804 . . . . . 6 (2...(⌊‘(√‘31))) = (2...5)
78 5nn 11390 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
7978nnzi 11603 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℤ
80 3z 11612 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
811, 79, 803pm3.2i 1423 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
82 3re 11296 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
838, 82, 62ltleii 10362 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
84 3lt5 11403 . . . . . . . . . 10 3 < 5
8582, 59, 84ltleii 10362 . . . . . . . . 9 3 ≤ 5
8683, 85pm3.2i 447 . . . . . . . 8 (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)
87 elfz2 12540 . . . . . . . 8 (3 ∈ (2...5) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 5)))
8881, 86, 87mpbir2an 690 . . . . . . 7 3 ∈ (2...5)
89 fzsplit 12574 . . . . . . 7 (3 ∈ (2...5) → (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (2...5) = ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5))
91 df-3 11282 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
9291oveq2i 6804 . . . . . . . 8 (2...3) = (2...(2 + 1))
93 fzpr 12603 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
941, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
95 2p1e3 11353 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
9695preq2i 4408 . . . . . . . 8 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
9792, 94, 963eqtri 2797 . . . . . . 7 (2...3) = {2, 3}
9828oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((3 + 1)...5) = (4...5)
99 df-5 11284 . . . . . . . . 9 5 = (4 + 1)
10099oveq2i 6804 . . . . . . . 8 (4...5) = (4...(4 + 1))
101 4z 11613 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
102 fzpr 12603 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℤ → (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)})
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (4...(4 + 1)) = {4, (4 + 1)}
104 4p1e5 11356 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
105104preq2i 4408 . . . . . . . . 9 {4, (4 + 1)} = {4, 5}
106103, 105eqtri 2793 . . . . . . . 8 (4...(4 + 1)) = {4, 5}
10798, 100, 1063eqtri 2797 . . . . . . 7 ((3 + 1)...5) = {4, 5}
10897, 107uneq12i 3916 . . . . . 6 ((2...3) ∪ ((3 + 1)...5)) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
10977, 90, 1083eqtri 2797 . . . . 5 (2...(⌊‘(√‘31))) = ({2, 3} ∪ {4, 5})
110109ineq1i 3961 . . . 4 ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) = (({2, 3} ∪ {4, 5}) ∩ ℙ)
11157, 110eleq2s 2868 . . 3 (𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑛31)
112111rgen 3071 . 2 𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31
113 isprm7 15627 . 2 (31 ∈ ℙ ↔ (31 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑛 ∈ ((2...(⌊‘(√‘31))) ∩ ℙ) ¬ 𝑛31))
11414, 112, 113mpbir2an 690 1 31 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cun 3721  cin 3722  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  9c9 11279  cz 11579  cdc 11695  cuz 11888  ...cfz 12533  cfl 12799  csqrt 14181  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  m5prm  42041
  Copyright terms: Public domain W3C validator