Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid2 42276
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid2 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid2
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 2zrngbas.r . . 3 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
3 2zrngmmgm.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
41, 2, 32zrngnmrid 42275 . 2 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎
5 eldifi 3765 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎𝐸)
6 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
76zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℂ)
87, 1eleq2s 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝐸𝑎 ∈ ℂ)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → 𝑎 ∈ ℂ)
10 elrabi 3391 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
1110zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
1211, 1eleq2s 2748 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
13 mulcom 10060 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
149, 12, 13syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
1514eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
1615eqeq1d 2653 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
1716biimpd 219 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = 𝑎))
1817necon3d 2844 . . . 4 ((𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) ∧ 𝑏𝐸) → ((𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
1918ralimdva 2991 . . 3 (𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0}) → (∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎))
2019ralimia 2979 . 2 (∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑎 · 𝑏) ≠ 𝑎 → ∀𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
214, 20ax-mp 5 1 𝑎 ∈ (𝐸 ∖ {0})∀𝑏𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  2c2 11108  cz 11415  s cress 15905  mulGrpcmgp 18535  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator