MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2tnp1ge0ge0 12795
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 11572 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 11651 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
54peano2zd 11648 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
65zred 11645 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7 2re 11253 . . . 4 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11275 . . . 4 0 < 2
109a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11 ge0div 11053 . . 3 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
126, 8, 10, 11syl3anc 1463 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
134zcnd 11646 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14 1cnd 10219 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15 2cnne0 11405 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
17 divdir 10873 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1463 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
19 zcn 11545 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20 2cnd 11256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
21 2ne0 11276 . . . . . . 7 2 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2319, 20, 22divcan3d 10969 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
2423oveq1d 6816 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
2518, 24eqtrd 2782 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
2625breq2d 4804 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
27 zre 11544 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
28 halfre 11409 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
3027, 29readdcld 10232 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
31 halfge0 11412 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
3227, 29addge01d 10778 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
3331, 32mpbii 223 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
34 1red 10218 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
35 halflt1 11413 . . . . 5 (1 / 2) < 1
3635a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
3729, 34, 27, 36ltadd2dd 10359 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
38 btwnzge0 12794 . . 3 ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
3930, 3, 33, 37, 38syl22anc 1464 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
4012, 26, 393bitrd 294 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238   / cdiv 10847  2c2 11233  cz 11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fl 12758
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  15245
  Copyright terms: Public domain W3C validator