MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2swrdeqwrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2swrdeqwrdeq 13653
Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
2swrdeqwrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem 2swrdeqwrdeq
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqwrd 13533 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
213adant3 1127 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
3 elfzofz 12679 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4 fzosplit 12695 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
653ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
76adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
87raleqdv 3283 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
9 ralunb 3937 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
108, 9syl6bb 276 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖))))
11 3simpa 1143 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉))
1211adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉))
13 elfzonn0 12707 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
14133ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
1514adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
16 0nn0 11499 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
1715, 16jctil 561 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0))
18 elfzo0le 12706 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
19183ad2ant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
2019adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
21 breq2 4808 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
2221adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
2320, 22mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
24 swrdspsleq 13649 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (0 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
2524bicomd 213 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (0 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩)))
2612, 17, 20, 23, 25syl112anc 1481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩)))
27 lencl 13510 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28273ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2914, 28jca 555 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
3029adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
31 nn0re 11493 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
3231leidd 10786 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
3327, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
34333ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
3534adantr 472 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
36 breq2 4808 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
3736adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
3835, 37mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
39 swrdspsleq 13649 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)))
4039bicomd 213 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → (∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))
4112, 30, 35, 38, 40syl112anc 1481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))
4226, 41anbi12d 749 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
4310, 42bitrd 268 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
4443pm5.32da 676 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑆𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
452, 44bitrd 268 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cun 3713  cop 4327   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  cle 10267  0cn0 11484  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   substr csubstr 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-substr 13489
This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  13654  2swrd2eqwrdeq  13897
  Copyright terms: Public domain W3C validator