MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2swrd1eqwrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2swrd1eqwrdeq 13662
Description: Two (nonempty) words are equal if and only if they have the same prefix and the same single symbol suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 23-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
2swrd1eqwrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem 2swrd1eqwrdeq
StepHypRef Expression
1 lencl 13519 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2 nn0z 11601 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
3 elnnz 11588 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
43simplbi2 482 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
51, 2, 43syl 18 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
65a1d 25 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
763imp 1100 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8 fzo0end 12767 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
10 2swrdeqwrdeq 13661 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
119, 10syld3an3 1514 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
12 hashneq0 13356 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
1312biimpd 219 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → 𝑊 ≠ ∅))
1413imdistani 550 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
15143adant2 1124 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
1615adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
17 swrdlsw 13660 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
19 breq2 4788 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (♯‘𝑈)))
20193anbi3d 1552 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈))))
21 hashneq0 13356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2221biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) → 𝑈 ≠ ∅))
2322imdistani 550 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅))
24233adant1 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅))
25 swrdlsw 13660 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
2720, 26syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2827impcom 394 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
29 oveq1 6799 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
30 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
3129, 30opeq12d 4545 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩)
3231oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩))
3332eqeq1d 2772 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3433adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3528, 34mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
3618, 35eqeq12d 2785 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
37 hashgt0n0 13357 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
38 lswcl 13551 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
3937, 38syldan 571 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
40393adant2 1124 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
4140adantr 466 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
42 hashgt0n0 13357 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
43 lswcl 13551 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
4442, 43syldan 571 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
45443adant1 1123 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
4620, 45syl6bi 243 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉))
4746impcom 394 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
48 s111 13594 . . . . . 6 (((lastS‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
4941, 47, 48syl2anc 565 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
5036, 49bitrd 268 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
5150anbi2d 606 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
5251pm5.32da 560 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
5311, 52bitrd 268 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  c0 4061  cop 4320   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   < clt 10275  cmin 10467  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  ..^cfzo 12672  chash 13320  Word cword 13486  lastSclsw 13487  ⟨“cs1 13489   substr csubstr 13490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-lsw 13495  df-s1 13497  df-substr 13498
This theorem is referenced by:  wwlksnextinj  27041  clwwlkf1  27202
  Copyright terms: Public domain W3C validator