Theorem 2strbas 16182

Description: The base set of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l	⊢ 1 < 𝑁
2str.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2strbas	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 2strbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2		2str.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
3		2str.l	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
4		2str.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
5	1, 2, 3, 4	2strstr 16181	. 2 ⊢ 𝐺 Struct ⟨1, 𝑁⟩
6		baseid 16117	. 2 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		snsspr1 4486	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
8	7, 1	sseqtr4i 3775	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩} ⊆ 𝐺
9	5, 6, 8	strfv 16105	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  {csn 4317  {cpr 4319  ⟨cop 4323   class class class wbr 4800  ‘cfv 6045  1c1 10125   < clt 10262  ℕcn 11208  ndxcnx 16052  Slot cslot 16054  Basecbs 16055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061

This theorem is referenced by:  grpbase  16189  isposix  17154  eltpsg  20945  indistpsALT  21015  tuslem  22268  tmslem  22484