Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2shfti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2shfti 14040
 Description: Composite shift operations. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
2shfti ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem 2shfti
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ V
21shftfval 14030 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
32breqd 4816 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦))
4 ovex 6843 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
5 vex 3344 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐵) ∈ ℂ))
7 oveq1 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝐴) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
87breq1d 4815 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤))
96, 8anbi12d 749 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤)))
10 breq2 4809 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
1110anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑤) ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
12 eqid 2761 . . . . . . . 8 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}
134, 5, 9, 11, 12brab 5149 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵){⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)}𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦))
143, 13syl6bb 276 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1514ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
16 subcl 10493 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
1716biantrurd 530 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1817ancoms 468 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
1918adantll 752 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ ((𝑥𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦)))
20 sub32 10528 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = ((𝑥𝐵) − 𝐴))
21 subsub4 10527 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) − 𝐵) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2220, 21eqtr3d 2797 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
23223expb 1114 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2423ancoms 468 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵) − 𝐴) = (𝑥 − (𝐴 + 𝐵)))
2524breq1d 4815 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝑥𝐵) − 𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2615, 19, 253bitr2d 296 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦))
2726pm5.32da 676 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)))
2827opabbidv 4869 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
29 ovex 6843 . . . 4 (𝐹 shift 𝐴) ∈ V
3029shftfval 14030 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
3130adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐵)(𝐹 shift 𝐴)𝑦)})
32 addcl 10231 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
331shftfval 14030 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3432, 33syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − (𝐴 + 𝐵))𝐹𝑦)})
3528, 31, 343eqtr4d 2805 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) shift 𝐵) = (𝐹 shift (𝐴 + 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   class class class wbr 4805  {copab 4865  (class class class)co 6815  ℂcc 10147   + caddc 10152   − cmin 10479   shift cshi 14026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-shft 14027 This theorem is referenced by:  shftcan1  14043
 Copyright terms: Public domain W3C validator