MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2re 11128
Description: The number 2 is real. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
2re 2 ∈ ℝ

Proof of Theorem 2re
StepHypRef Expression
1 df-2 11117 . 2 2 = (1 + 1)
2 1re 10077 . . 3 1 ∈ ℝ
32, 2readdcli 10091 . 2 (1 + 1) ∈ ℝ
41, 3eqeltri 2726 1 2 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  2c2 11108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-iota 5889  df-fv 5934  df-ov 6693  df-2 11117
This theorem is referenced by:  2cn  11129  3re  11132  2ne0  11151  3pos  11152  2lt3  11233  1lt3  11234  2lt4  11236  1lt4  11237  2lt5  11240  2lt6  11245  1lt6  11246  2lt7  11251  1lt7  11252  2lt8  11258  1lt8  11259  2lt9  11266  1lt9  11267  2lt10OLD  11275  1lt10OLD  11276  1le2  11279  2rene0  11281  halfre  11284  halfgt0  11286  halflt1  11288  rehalfcl  11296  halfpos2  11299  halfnneg2  11301  addltmul  11306  nominpos  11307  avglt1  11308  avglt2  11309  div4p1lem1div2  11325  nn0lele2xi  11386  nn0n0n1ge2b  11397  nn0ge2m1nn  11398  nn0le2is012  11479  halfnz  11493  3halfnz  11494  2lt10  11718  1lt10  11719  uzuzle23  11767  uz3m2nn  11769  2rp  11875  zgt1rpn0n1  11909  xnn0n0n1ge2b  12003  fztpval  12440  fz0to4untppr  12481  fzo0to42pr  12595  2tnp1ge0ge0  12670  flhalf  12671  fldiv4p1lem1div2  12676  fldiv4lem1div2uz2  12677  2txmodxeq0  12770  expubnd  12961  expmulnbnd  13036  nn0opthlem2  13096  faclbnd2  13118  faclbnd4lem1  13120  faclbnd5  13125  4bc2eq6  13156  hashfun  13262  hashge2el2dif  13300  hashge2el2difr  13301  wrdlenge2n0  13374  f1oun2prg  13708  2swrd2eqwrdeq  13742  sqrlem7  14033  sqrt4  14057  sqrt2gt1lt2  14059  abstri  14114  sqreulem  14143  amgm2  14153  caucvgrlem  14447  iseralt  14459  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  climcnds  14627  geoihalfsum  14658  efcllem  14852  ege2le3  14864  ef01bndlem  14958  cos01bnd  14960  cos2bnd  14962  cos01gt0  14965  sin02gt0  14966  sincos2sgn  14968  sin4lt0  14969  eirrlem  14976  egt2lt3  14978  epos  14979  ene1  14982  sqrt2re  15024  oexpneg  15116  mod2eq1n2dvds  15118  oddge22np1  15120  evennn02n  15121  evennn2n  15122  nn0ehalf  15142  nn0o1gt2  15144  nno  15145  nn0o  15146  nn0oddm1d2  15148  nnoddm1d2  15149  n2dvds1  15151  flodddiv4t2lthalf  15187  bitsp1o  15202  bitsfzolem  15203  bitsfzo  15204  bitsfi  15206  6gcd4e2  15302  isprm7  15467  3lcm2e6  15487  oddprm  15562  iserodd  15587  prmreclem2  15668  prmreclem6  15672  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  prmgaplem7  15808  2expltfac  15846  plusgndxnmulrndx  16045  oppgtset  17828  efgredleme  18202  mgpsca  18542  mgptset  18543  mgpds  18545  rmodislmod  18979  cnfldfun  19806  zringndrg  19886  matplusg  20268  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  psmetge0  22164  xmetge0  22196  bl2in  22252  metnrmlem3  22711  iihalf1  22777  iihalf2  22779  pcoass  22870  tchcphlem1  23080  csbren  23228  trirn  23229  minveclem2  23243  minveclem4  23249  pjthlem1  23254  ovolunlem1a  23310  dyadss  23408  opnmbllem  23415  vitalilem2  23423  vitalilem4  23425  mbfi1fseqlem5  23531  lhop1lem  23821  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  pilem2  24251  pilem3  24252  pipos  24257  sinhalfpilem  24260  sincosq1lem  24294  sincosq4sgn  24298  tangtx  24302  sinq12gt0  24304  sincos4thpi  24310  tan4thpi  24311  sincos6thpi  24312  sineq0  24318  cosordlem  24322  tanord1  24328  efif1olem1  24333  efif1olem2  24334  efif1olem4  24336  efif1o  24337  efifo  24338  cxpcn3lem  24533  root1id  24540  root1eq1  24541  root1cj  24542  cxpeq  24543  logblog  24575  ang180lem1  24584  ang180lem2  24585  chordthmlem2  24605  1cubrlem  24613  atancj  24682  atantan  24695  atanbndlem  24697  atans2  24703  leibpilem1  24712  leibpi  24714  log2tlbnd  24717  log2ublem2  24719  log2ub  24721  divsqrtsumlem  24751  harmonicbnd3  24779  zetacvg  24786  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem6  24805  lgamucov  24809  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem5  24856  chtdif  24929  ppidif  24934  ppinncl  24945  chtrpcl  24946  ppieq0  24947  ppiltx  24948  ppiublem1  24972  ppiub  24974  chpeq0  24978  chteq0  24979  chtublem  24981  chtub  24982  chpval2  24988  chpub  24990  mersenne  24997  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  dchrptlem1  25034  dchrptlem2  25035  bcmono  25047  bclbnd  25050  bpos1lem  25052  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem3  25056  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bposlem7  25060  bposlem8  25061  bposlem9  25062  lgslem1  25067  lgsdirprm  25101  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem2  25137  gausslemma2dlem3  25138  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisen  25149  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  m1lgs  25158  2lgslem1a1  25159  2lgslem1a2  25160  2lgslem1c  25163  2lgslem4  25176  2sqlem11  25199  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem2  25204  chebbnd1lem3  25205  chebbnd1  25206  chtppilimlem1  25207  chtppilimlem2  25208  chtppilim  25209  chto1ub  25210  chebbnd2  25211  chto1lb  25212  chpchtlim  25213  chpo1ub  25214  chpo1ubb  25215  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0re  25247  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2  25252  rplogsum  25261  mulog2sumlem1  25268  mulog2sumlem2  25269  log2sumbnd  25278  selberglem2  25280  selbergb  25283  selberg2b  25286  chpdifbndlem1  25287  logdivbnd  25290  selberg3lem1  25291  selberg3  25293  selberg4lem1  25294  selberg4  25295  pntrmax  25298  pntrsumbnd2  25301  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntpbnd  25322  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntibnd  25327  pntlemb  25331  pntlemg  25332  pntlemh  25333  pntlemr  25336  pntlemk  25340  pntlemo  25341  pnt2  25347  pnt  25348  ostth2lem1  25352  ostth3  25372  istrkg3ld  25405  tgldimor  25442  trgcgrg  25455  tgcgr4  25471  axlowdimlem6  25872  axlowdimlem16  25882  axlowdimlem17  25883  axlowdim  25886  upgrfi  26031  umgrupgr  26043  umgrislfupgrlem  26062  umgrislfupgr  26063  lfgrnloop  26065  usgruspgr  26118  usgrislfuspgr  26124  lfuhgr1v0e  26191  usgrexmpldifpr  26195  usgrexmplef  26196  nbusgrvtxm1  26325  vdegp1bi  26489  upgrewlkle2  26558  lfgrwlkprop  26640  upgr2pthnlp  26684  usgr2pthlem  26715  pthdlem1  26718  wwlksm1edg  26835  wwlksnextwrd  26860  wwlksnextfun  26861  wwlksnextinj  26862  wwlksnextproplem3  26874  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2a2  26959  clwlkclwwlklem2fv1  26961  clwlkclwwlklem2fv2  26962  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  clwlkclwwlklem2  26966  clwlkclwwlk2  26969  clwwlkext2edg  27020  clwlksfclwwlk  27049  konigsbergiedgw  27226  konigsbergssiedgw  27228  konigsberglem1  27230  konigsberglem2  27231  konigsberglem3  27232  konigsberg  27235  frgrreggt1  27380  ex-pss  27415  ex-res  27428  ex-fv  27430  ex-fl  27434  ex-mod  27436  ex-abs  27442  nvge0  27656  ipidsq  27693  minvecolem2  27859  minvecolem4  27864  normlem7  28101  norm-ii-i  28122  norm3lemt  28137  normpar2i  28141  bcsiALT  28164  pjhthlem1  28378  opsqrlem6  29132  cdj3lem1  29421  addltmulALT  29433  threehalves  29751  oppgle  29781  resvplusg  29961  sqsscirc1  30082  nexple  30199  dya2iocucvr  30474  omssubadd  30490  oddpwdc  30544  eulerpartlemgc  30552  fibp1  30591  coinfliplem  30668  coinflipspace  30670  ballotlem2  30678  signstfveq0  30782  prodfzo03  30809  hgt750lemd  30854  logdivsqrle  30856  hgt750lem  30857  hgt750lem2  30858  hgt750leme  30864  subfacp1lem1  31287  subfacp1lem5  31292  subfacval3  31297  problem2  31685  problem2OLD  31686  problem5  31689  circum  31694  nn0prpwlem  32442  dnibndlem10  32602  knoppcnlem2  32609  knoppcnlem4  32611  knoppcnlem10  32617  unbdqndv2lem1  32625  knoppndvlem1  32628  knoppndvlem10  32637  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem12  32639  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem17  32644  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem19  32646  knoppndvlem20  32647  knoppndvlem21  32648  cnndvlem1  32653  taupi  33299  relowlpssretop  33342  sin2h  33529  cos2h  33530  tan2h  33531  poimirlem7  33546  poimirlem9  33548  opnmbllem0  33575  mblfinlem1  33576  mblfinlem2  33577  itg2addnclem  33591  isbnd2  33712  isbnd3  33713  heiborlem7  33746  rabren3dioph  37696  pellexlem2  37711  pellexlem5  37714  pell14qrgapw  37757  pellfundex  37767  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  jm2.24nn  37843  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  acongrep  37864  acongeq  37867  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm3.1lem2  37902  expdiophlem1  37905  imo72b2lem0  38782  lhe4.4ex1a  38845  isosctrlem1ALT  39484  sineq0ALT  39487  lt3addmuld  39829  suplesup  39868  infleinflem2  39900  infleinf  39901  sumnnodd  40180  0ellimcdiv  40199  sinaover2ne0  40397  stoweidlem13  40548  stoweidlem14  40549  stoweidlem26  40561  stoweidlem49  40584  stoweidlem52  40587  wallispilem4  40603  wallispilem5  40604  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  wallispi2  40608  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem5  40613  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  dirker2re  40627  dirkerval2  40629  dirkerre  40630  dirkerper  40631  dirkertrigeqlem1  40633  dirkertrigeqlem3  40635  dirkercncflem1  40638  dirkercncflem2  40639  dirkercncflem4  40641  fourierdlem24  40666  fourierdlem43  40685  fourierdlem44  40686  fourierdlem57  40698  fourierdlem58  40699  fourierdlem62  40703  fourierdlem66  40707  fourierdlem68  40709  fourierdlem72  40713  fourierdlem76  40717  fourierdlem78  40719  fourierdlem79  40720  fourierdlem94  40735  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem111  40752  fourierdlem113  40754  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  fourierswlem  40765  fouriersw  40766  etransclem23  40792  salexct2  40875  salexct3  40878  salgencntex  40879  salgensscntex  40880  sge0ad2en  40966  ovnsubaddlem1  41105  smfmullem4  41322  smf2id  41329  2leaddle2  41637  p1lep2  41639  pfx2  41737  fmtnoge3  41767  fmtnof1  41772  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtno4prmfac  41809  fmtno4prm  41812  2pwp1prm  41828  31prm  41837  sfprmdvdsmersenne  41845  lighneallem2  41848  lighneallem4a  41850  lighneallem4b  41851  dfodd4  41896  oexpnegALTV  41913  nn0o1gt2ALTV  41930  nnoALTV  41931  nn0oALTV  41932  nn0e  41933  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  gbowgt5  41975  sbgoldbalt  41994  sgoldbeven3prm  41996  mogoldbb  41998  nnsum3primes4  42001  nnsum3primesgbe  42005  nnsum3primesle9  42007  nnsum4primesodd  42009  nnsum4primesoddALTV  42010  wtgoldbnnsum4prm  42015  bgoldbnnsum3prm  42017  cznnring  42281  ply1mulgsumlem2  42500  zlmodzxznm  42611  zlmodzxzldeplem  42612  difmodm1lt  42642  nn0eo  42647  flnn0div2ge  42652  rege1logbzge0  42678  fldivexpfllog2  42684  logbpw2m1  42686  fllog2  42687  blenpw2m1  42698  nnpw2blen  42699  nnolog2flm1  42709  blennngt2o2  42711  dig2nn1st  42724  dig2nn0  42730  dig2bits  42733  dignn0flhalflem1  42734  dignn0flhalflem2  42735  dignn0flhalf  42737  nn0sumshdiglemA  42738
  Copyright terms: Public domain W3C validator